數(shù)值計(jì)算是指在數(shù)值分析領(lǐng)域中的算法。數(shù)值分析是專門研究和數(shù)字以及近似值相關(guān)的數(shù)據(jù)問題，數(shù)值計(jì)算在數(shù)值分析的研究中發(fā)揮了特別重要的作用。

多項(xiàng)式插值是計(jì)算函數(shù)近似值的一種方法。其中函數(shù)值僅在幾個(gè)點(diǎn)上已知。

該算法的基礎(chǔ)是建立級(jí)數(shù)小于等于n的一個(gè)插值多項(xiàng)式p_n(z)，其中n+1是已知函數(shù)值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

多項(xiàng)式插值法

許多問題都可以按照函數(shù)的方式來描述。然而，通常這個(gè)函數(shù)是未知的，我們只能通過少量的已知點(diǎn)來推斷函數(shù)的大致模型。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，在已知點(diǎn)之間做插值處理。如圖所示，關(guān)于函數(shù)f(x)，已知的點(diǎn)為x₀...x₈，在圖中以黑色的圓點(diǎn)表示。通過插值法的幫助，我們能夠獲取函數(shù)在z0、z1、z2處的值，在圖中以白色小方塊表示。本節(jié)主要討論多項(xiàng)式插值法。

多項(xiàng)式插值法的根本點(diǎn)就是要建立一個(gè)特殊形式的多項(xiàng)式，稱為插值多項(xiàng)式。

為了深入理解插值多項(xiàng)式的意義，我們先來看看多項(xiàng)式的一些基本法則：

首先，多項(xiàng)式是具有如下形式的函數(shù)：

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

這里的a₀，...，a_n是系數(shù)。當(dāng)a_n為非零整數(shù)時(shí)，這種形式的多項(xiàng)式稱為n階多項(xiàng)式。這是多項(xiàng)式的指數(shù)形式，在數(shù)學(xué)問題中尤為常見。但是，在某些特定的環(huán)境中其他形式的多項(xiàng)式則更為簡便。比如，在有關(guān)多項(xiàng)式插值問題中，牛頓插值多項(xiàng)式就是一個(gè)很好的例子：

p(x) = a₀ + a₁ (x - c₁) + a₂ (x - c₁)(x - c₂) + ... + a_n(x - c₁)(x - c₂)...(x - c_n)

這里a₀，...，a_n是系數(shù)，而c₀，...，c_n是中值。注意到，當(dāng)c₀，...，c_n全為0時(shí)，牛頓插值多項(xiàng)式就退化為前面定義的n階多項(xiàng)式。

構(gòu)建插值多項(xiàng)式

下面我們來看看如何對(duì)函數(shù)f(x)構(gòu)建一個(gè)插值多項(xiàng)式。

為了對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行插值，要構(gòu)建一個(gè)階數(shù)小于等于n的多項(xiàng)式p_n(z)，而這又需要用到函數(shù)f(x)的n+1個(gè)已知點(diǎn)：x₀，...，x_n。這些已知點(diǎn)x₀，...，x_n就稱為插值點(diǎn)。通過插值多項(xiàng)式p_n(z)可以計(jì)算出函數(shù)f(x)在x=z處的近似值。插值法需要滿足點(diǎn)z在[x₀,x_n]內(nèi)。可以采用如下公式來構(gòu)建插值多項(xiàng)式p_n(z)。

p_n(z) = f[x₀] + f[x₀,x₁](z-x₀) + f[x₀,x₁,x₂](z-x₀)(z-x₁) + ... + f[x₀,...,x_n](z-x₀)(z-x₁)...(z-x_n-1)

其中函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀,...,x_n處的值已知，而f[x₀],...,f[x₀,...,x_n]則稱為差商。

差商可以通過點(diǎn)x₀,...,x_n以及函數(shù)f(x)在這些點(diǎn)處的值來計(jì)算得出。這就是牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算公式。注意到該公式同牛頓插值多項(xiàng)式的相同點(diǎn)。差商的計(jì)算公式為：

f[xi,...,xj] = f(xi) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果i=j

f[x_i,...,x_j] = ( f[x_i+1,...x_j] - f[x_i,...x_j-1] ) / (x_j - x_i) 如果i < j

?通過這個(gè)公式不難看出，當(dāng)i < j時(shí)，必須預(yù)先計(jì)算出其他的差商值。例如，要計(jì)算f[x₀,x₁,x₂,x₃]，就需要先計(jì)算出f[x₁,x₂,x₃]和f[x₀,x₁,x₂]的值。幸運(yùn)的是，可以通過一個(gè)差商表來幫助我們以一種系統(tǒng)的方式來計(jì)算差商值。如下圖。

差商表由多行組成。最頂行保存已知點(diǎn)x₀,...,x_n 的值。第二行保存f[x₀],...,f[x_n]的值。要計(jì)算出表中其他的差商值，從每個(gè)待求的差商值處畫一條對(duì)角線，使其回到f[xi]和f[xj]（如下圖中差商f[x1,x2,x3]處的虛線）。要得到分母中的xi和xj，直接通過xi和xj求得。分子中的兩個(gè)差商就是前一階段計(jì)算出來的結(jié)果。

當(dāng)完成了整個(gè)差商表的計(jì)算后，插值多項(xiàng)式的系數(shù)就是從第二行開始，每行最左邊的那一項(xiàng)。

計(jì)算插值多項(xiàng)式

一旦確定了插值多項(xiàng)式的系數(shù)，對(duì)于函數(shù)f，如果我們想知道某個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，只需要對(duì)多項(xiàng)式求值即可。

比如，已知函數(shù)f在4個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值：x0=-3.0，f（x0）=-5.0；x1=-2.0，f（x1）=-1.1；x2=2.0，f（x2）=1.9；x3=3.0，f（x3）=4.8；現(xiàn)在要求出點(diǎn)z0=-2.5，z1=0.0，z2=1.0，z3=2.5處的函數(shù)值。由于已經(jīng)知道函數(shù)f在4個(gè)點(diǎn)處的值，因此插值多項(xiàng)式為3階。下圖是3階插值多項(xiàng)式p3(z)的差商表。

一旦從差商表中得到了系數(shù)，就可以采用前面介紹過的牛頓公式來構(gòu)建插值多項(xiàng)式p3(z)：

p3(z)=-5.0 + 3.9(z+3.0) + (-0.63)(z+3.0)(z+2.0) + 0.1767(z+3.0)(z+2.0)(z-2.0)

下一步可以通過該多項(xiàng)式計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)z處的函數(shù)值。比如，在點(diǎn)z=-2.5處，經(jīng)過如下計(jì)算得到：

p3(z)=-5.0 + 3.9(-2.5+3.0) + (-0.63)(-2.5+3.0)(-2.5+2.0) + 0.1767(-2.5+3.0)(-2.5+2.0)(-2.5-2.0) = -2.694

點(diǎn)z1、z2、z3處的函數(shù)值可以通過相似的方法計(jì)算得出。最終結(jié)果以表格和函數(shù)圖像的方式表達(dá)。如下圖。

和任何其他近似算法一樣，通常會(huì)有一些與插值多項(xiàng)式相關(guān)的誤差出現(xiàn)，理解這一點(diǎn)很重要。定性的來講，如果要使誤差降至最小，構(gòu)建的插值多項(xiàng)式必須要在函數(shù)f(x)上獲取足夠多的已知點(diǎn)才行。并且點(diǎn)與點(diǎn)之前的距離要適當(dāng)，這樣最終得到的多項(xiàng)式才能精確地表示出函數(shù)的特性。

多項(xiàng)式插值的接口定義

interpol

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int interpol ( const double *x, const double *fx, int n, double *z, double *pz, int m );

返回值：如果插值操作成功，返回0；否則返回-1；

描述：采用多項(xiàng)式插值法來求得函數(shù)在某些特定點(diǎn)上的值。

由調(diào)用者在參數(shù)x處指定函數(shù)值已知的點(diǎn)集。每個(gè)已知點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都在fx中指定。對(duì)應(yīng)待求的點(diǎn)由參數(shù)z來指定，而z所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值將在pz中返回。x和f（x）中的元素個(gè)數(shù)由參數(shù)n來表示。z中的待求點(diǎn)的個(gè)數(shù)（以及pz中返回值個(gè)數(shù)）由參數(shù)m來表示。由調(diào)用者管理x、fx、z以及pz所關(guān)聯(lián)的存儲(chǔ)空間。

復(fù)雜度：O（mn²），這里m代表待求值的個(gè)數(shù)，而n代表已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

多項(xiàng)式插值的實(shí)現(xiàn)與分析

多項(xiàng)式插值法主要基于對(duì)一系列期望點(diǎn)的插值多項(xiàng)式的確定。要得到這個(gè)多項(xiàng)式，首先必須通過計(jì)算差商來確定該多項(xiàng)式的系數(shù)。

首先，為差商以及待確定的系數(shù)分配存儲(chǔ)空間。注意，由于差商表中每一行的每一項(xiàng)都僅依賴于其前一行的計(jì)算結(jié)果，因此，并不需要一次性保留所有的表項(xiàng)。所以，只為最占用空間的行分配空間即可，該行將有n個(gè)條目。

接下來，用fx中的值來初始化差商表的第一行。這是為計(jì)算差商表中的第三行做準(zhǔn)備。（前兩行不需要計(jì)算，因?yàn)檫@兩行中的條目都已經(jīng)保存在x和fx中）。

初始化的最后一步是在coeff[0]中保存fx[0]的值，因?yàn)檫@是插值多項(xiàng)式的第一個(gè)系數(shù)。

計(jì)算差商的過程涉及一個(gè)嵌套循環(huán)，我們?cè)谘h(huán)中根據(jù)前面介紹過的公式來計(jì)算差商。在外層循環(huán)中，k用來統(tǒng)計(jì)正在計(jì)算的是哪一行（排除x和fx所代表的行）。在內(nèi)層循環(huán)中，i表示在當(dāng)前行中正在計(jì)算的是哪一個(gè)條目。一旦計(jì)算完一行的條目，table[0]中的值就成為插值多項(xiàng)式的下一個(gè)系數(shù)。因此，保存該值到coeff[k]中。一旦得到插值多項(xiàng)式的所有系數(shù)，就可以計(jì)算出z中每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的值，最后將這些值保存在pz中。

?我們命名這個(gè)函數(shù)為interpol，它的時(shí)間復(fù)雜度為O（mn^₂），這里m代表z中的元素個(gè)數(shù)（也是pz中值的個(gè)數(shù)），n代表x中（也是fx中）的元素個(gè)數(shù)。復(fù)雜度因子n²是這樣得到的，變更j控制循環(huán)中的每次迭代，當(dāng)前迭代中需要乘以的因子比上一輪要多一個(gè)。也就是說，當(dāng)j=1時(shí)，term需要做1次乘法，當(dāng)j=2時(shí)，term需要做2次乘法，持續(xù)這個(gè)過程直到j(luò)=n-1時(shí)，term需要做n-1次乘法。實(shí)際上，這就成了對(duì)1~n-1的整數(shù)求和，得到的計(jì)算時(shí)間為T（n）=（n（n+1）/2）-n，再乘以某段固定的時(shí)間。（這是由計(jì)算等差數(shù)列的著名公式得到的）。在大O記法中可以簡化為O（n²）。O（mn²）中的因子m來源于針對(duì)z中的每個(gè)點(diǎn)計(jì)算多項(xiàng)式插值的過程。在第一個(gè)嵌套循環(huán)中，計(jì)算出所有的差商，其復(fù)雜度為O（n²）。因此，最終的復(fù)雜度有一個(gè)額外的因子m，該因子對(duì)實(shí)際的復(fù)雜度沒有多大的影響。

示例：多項(xiàng)式插值的實(shí)現(xiàn)

/*interpol.c*/ #include <stdlib.h> #include <string.h>#include "nummeths.h"/*interpol */ int interpol(const double *x, const double *fx, int n, double *z, double *pz, int m) {double term, *table, *coeff;int i,j,k;/*為差商和待確定的系數(shù)分配空間*/if((table = (double *)malloc(sizeof(double)*n)) == NULL)return -1;if((coeff = (double *)malloc(sizeof(double)*n)) == NULL){free(table);return -1;}/*初始化差商表*/memcpy(table,fx,sizeof(double)*n);/*重點(diǎn)：確定差商表的系數(shù)*/coeff[0] = table[0];for(k=1; k<n; k++)/*外層循環(huán)k用來統(tǒng)計(jì)正在計(jì)算的是哪一行*/{for(i=0; i<n-k; i++)/*內(nèi)層循環(huán)i表示在當(dāng)前行中正在計(jì)算的是哪一個(gè)條目（隨之行數(shù)的增加，條目減少）*/{j=i+k;/*當(dāng)前行的每一項(xiàng)中分子的差商就是其前一階段計(jì)算的結(jié)果*/table[i] = (table[i+1] - table[i]) / (x[j] - x[i]);}/*當(dāng)前行的首個(gè)條目計(jì)算結(jié)果即是多項(xiàng)式的下一個(gè)系數(shù)*/coeff[k]=table[0];}free(table);/*在指定點(diǎn)上對(duì)插值多項(xiàng)式進(jìn)行求值(循環(huán)構(gòu)造插值多項(xiàng)式)*/for(k=0; k<m; k++) /*最外層：遍歷z點(diǎn)數(shù)組*/{/*插值多項(xiàng)式的第一個(gè)因子*/pz[k] = coeff[0]; for(j=1; j<n; j++) /*嵌套：構(gòu)造多項(xiàng)式（新算式等于上一步的結(jié)果加上新因子）*/{term = coeff[j]; /*因子構(gòu)成：以多項(xiàng)式系數(shù)為基礎(chǔ)*/for(i=0; i<j; i++) /*嵌套：新因子以上一步的結(jié)果乘以（z[k] - x[i]）*/term=term*(z[k] - x[i]);pz[k]=pz[k] + term;}}free(coeff);return 0; }

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總結(jié)

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