1.首先回顧一下一維FT

通俗來講，一維傅里葉變換是將一個(gè)一維的信號(hào)分解成若干個(gè)三角波。

對(duì)于一個(gè)三角波而言，需要三個(gè)參數(shù)來確定它：頻率,幅度 A ，相位。因此在頻域中，一維坐標(biāo)代表頻率，而每個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也就是是一個(gè)復(fù)數(shù)，其中它的幅度就是這個(gè)頻率三角波的幅度 A ，相位就是?。下圖右側(cè)展現(xiàn)的只是幅度圖，在信號(hào)處理中用到更多的也是幅度圖。

2.類比：從一維到二維

一維信號(hào)是一個(gè)序列，FT將其分解成若干個(gè)一維的簡單函數(shù)（三角波）之和。二維的信號(hào)可以說是一個(gè)圖片，類比一維，那二維FT是不是將一個(gè)圖片分解成若干個(gè)簡單的圖片呢？

確實(shí)是這樣，二維FT將一個(gè)圖像分解成若干個(gè)三角平面波之和。如下圖：

對(duì)于三角平面波，可以這樣理解，在一個(gè)方向上存在一個(gè)三角函數(shù)，在法線方向上將其拉伸。前面說過三個(gè)參數(shù)可以確定一個(gè)一維的三角波。哪幾個(gè)參數(shù)可以確定一個(gè)二維的三角平面波呢？答案是四個(gè)，其中三個(gè)和一維的情況一樣（頻率?,幅度 A ，相位?），但是具有相同這些參數(shù)的平面波卻可以有不同的方向。如下圖所示：

兩個(gè)不同方向的平面波疊加

3.二維頻率域K-SPACE

在一維中由于分解后的參數(shù)只要三個(gè)，所以用一個(gè)序列就能存儲(chǔ)它：下標(biāo)表示頻率，存儲(chǔ)的內(nèi)容表示此頻率的三角波的幅度和相位。而對(duì)于二維FT變換后的平面波有四個(gè)參數(shù)，那怎末來保存呢？

類比一維中，幅度和相位可以用一個(gè)復(fù)數(shù)表示，它可以作為我們存儲(chǔ)的內(nèi)容。但是還有兩個(gè)：一個(gè)頻率一個(gè)方向。這時(shí)想到向量是有方向的，也是有長度的。所以我們用一個(gè)二維的矩陣的來保存分解之后得到的信息。這個(gè)矩陣就是K空間。（一般用k來表示空間頻率，單位是1/m）

什么意思呢？就是說一個(gè)二維矩陣點(diǎn)代表這個(gè)平面波的法向量，這個(gè)向量的模代表這個(gè)平面波的頻率?，這個(gè)點(diǎn)里面保存的內(nèi)容復(fù)數(shù)就是此平面波的幅度和相位。下面這個(gè)圖很好的體現(xiàn)了這一點(diǎn)：

也因此K空間的中心對(duì)于低頻，周圍對(duì)于高頻。如下圖，K空間中只有（0，0）處有值，也就是信號(hào)都是直流即不存在變化，所以實(shí)空間就是一張白紙。

再如下面這個(gè)圖片，中心低頻貢獻(xiàn)了圖像的主體，周圍高頻提供圖像的細(xì)節(jié)和邊緣。

4.關(guān)于K空間

在一維FT變換后，頻域呈現(xiàn)對(duì)稱性，也就前半段代表（0，fs/2），而后半段代表（-fs/2，0）。在二維中也是如此。因此為了方便理解，一般會(huì)對(duì)圖像進(jìn)行fftshift，將其交叉替換，將0頻移至中心。另外，K空間也具有共軛對(duì)稱性。

下面這個(gè)圖像顯示了二維傅里葉變換中，實(shí)空間旋轉(zhuǎn)多少，頻率空間也會(huì)相應(yīng)旋轉(zhuǎn)多少。這其實(shí)是高維傅里葉變換縮放定理的一種特殊情況。

5.二維傅里葉變換公式

上式為二維FT的公式。可以證明的實(shí)部也就是是一個(gè)三角平面波。也就是說，二維FT的公式就是將與每個(gè)不同方向不同頻率的平面波做積分，求出這個(gè)基的系數(shù)。至于為什么這樣可以，就要涉及到正交基、內(nèi)積、線性空間的知識(shí)了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二维傅里叶变换是怎么进行的？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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