傅立葉變換在圖像處理中有非常非常的作用。因為不僅傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進算法，

比如離散余弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。

印象中，傅立葉變換在圖像處理以下幾個話題都有重要作用：
1.圖像增強與圖像去噪
絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲;??邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；
2.圖像分割之邊緣檢測
提取圖像高頻分量
3.圖像特征提取：
形狀特征：傅里葉描述子
紋理特征：直接通過傅里葉系數來計算紋理特征
其他特征：將提取的特征值進行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉不變性
4.圖像壓縮
可以直接通過傅里葉系數來壓縮數據；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換；

傅立葉變換
傅里葉變換是將時域信號分解為不同頻率的正弦信號或余弦函數疊加之和。連續情況下要求原始信號在一個周期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅里葉變換一定存在。岡薩雷斯版<圖像處理>里面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基于頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。
傅立葉變換有很多優良的性質。比如線性，對稱性（可以用在計算信號的傅里葉變換里面）;

時移性：函數在時域中的時移，對應于其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

頻移性：函數在時域中乘以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調制定理，通訊里面信號的頻分復用需要用到這個特性（將不同的信號調制到不同的頻段上同時傳輸）；
卷積定理：時域卷積等于頻域乘積；時域乘積等于頻域卷積（附加一個系數）。（圖像處理里面這個是個重點）

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信號在頻率域的表現
在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當頻率為0時，表示直流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。
在圖像處理中，頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對圖像處理而言，以下概念非常的重要：

圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；
低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息
高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過
低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過
帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理
在時域內做模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。模板運算是圖像處理一個很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。因此，在時域內對圖像做模板運算就等效于在頻域內對圖像做濾波處理。
比如說一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對圖像作均值濾波就等效于在頻域內對圖像用均值模板的頻域響應對圖像的頻域響應作一個低通濾波。

圖像去噪
圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻分量，模糊圖像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型噪聲有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以后輸出中值，那么那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽噪聲：對于椒鹽采用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。
高斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。
岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是后者）更適合于處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合于處理脈沖噪聲。

圖像增強
有時候感覺圖像增強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像增強經常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那么，這時候就是同樣的意思了。
常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基于像素點的變換，后面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波后的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以后，圖像也應該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音。

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岡薩雷斯版<圖像處理>里面的解釋非常形象： 一個恰當的比喻是將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。 傅里葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基于頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。 圖像傅立葉變換的物理意義 圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。 傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數 傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾? 另外我還想說明以下幾點： 1、圖像經過二維傅立葉變換后，其變換系數矩陣表明： 若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。 2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）

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傅立葉變換在圖像處理中有非常重要的作用。因為不僅傅立葉分析涉及圖像處理很多方面，傅立 葉改進算法，比如離散余弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。傅立葉變換在圖像處理的重要作用：

? ?1.圖像增強與圖像去噪

? ? ? 絕 大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲; 邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；

? 2.圖像分割之邊緣檢測

? ? ?提 取圖像高頻分量

? 3.圖像特征提取：

? ? ?形狀特征：傅里葉描述子

? ? ?紋 理特征：直接通過傅里葉系數來計算紋理特征

? ? ?其他特征：將提取的特征值進行傅里葉變 換來使特征具有平移、伸縮、旋轉不變性

? 4.圖像壓縮

? ? ?可以直接通過傅里葉系數來壓縮數據；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換；傅立葉變換。

? ? 傅里葉變換是將 時域信號分解為不同頻率的正弦信號或余弦函數疊加之和。連續情況下要求原始信號在一個周期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅里葉變換一定存在。岡薩雷斯 版<圖像處理>里面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏 色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基于頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變 換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。

? ? 傅立葉變換有很多優良的性質。

? ? 如線性， 對稱性（可以用在計算信號的傅里葉變換里面）；

? ? 時移性：函數在時域中的時移，對 應于其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

? ? 頻移性：函數在時域中乘 以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調制定理，通訊里面信號的頻分復用需要用到這個特性（將不同的信號調制到不同的頻段上同時傳輸）；

? ?卷積定理：時域卷積等于頻域乘積；時域乘積等于頻域卷積（附加一個系數）。（圖像處理里面 這個是個重點）。

? ?信號在頻率域的表現。

? ? 在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當頻率為0時，表示直 流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。

? ? 在圖像處理中，頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯 度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分 量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從 空域到頻率自由轉換的途徑。對圖像處理而言，以下概念非常的重要：

? ? 圖像高頻分量： 圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；

? ? 低 頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息

? ? 高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑 制，高頻分量通過

? ? 低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過

? ? 帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制

? ? 帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理

? ? 在時域內做模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。 模板運算是圖像處理一個很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域 乘積。因此，在時域內對圖像做模板運算就等效于在頻域內對圖像做濾波處理。

比如說 一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對圖像作均值濾波就等效于在頻域內對圖像用均值模板的頻域響應對圖像的頻域響應作一個低通濾波。

? ? 圖像去噪

? ? 圖像去噪 就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。 但是這種情況下常常會造成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻分量，模糊圖像邊緣的同時也 抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型噪聲有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以后輸出中值，那么那些最大點和最小點 就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

? ? 椒鹽噪聲：對于椒鹽采用中值濾波可以 很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。

高斯白噪聲：白 噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。

岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值 濾波器和幾何均值濾波器（尤其是后者）更適合于處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合于處理脈沖噪聲。

? ? 圖像增強

有時候感覺圖像增 強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像增強經常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪 音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那么，這時候就是同樣的意思了。

? ? 常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基于像 素點的變換，后面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波后的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提 高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以后，圖像也應該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節上差異更大。同時也引入 了一些噪音。

? ? 對圖像二維傅立葉變換的意義

眾所周至，傅立葉變換可以將連續或離散的函數序列從空域映射到頻域上，因此，傅立葉變換是信息與信號學中不可獲缺的強大工具。但是，由于傅立 葉變換在學習時是以一大堆公式的形式給出的，因此很多人（包括我在內）往往在做了一大堆習題掌握了變換的數學表示卻對其變換后的物理意義一無所知，尤其是 自學的時候更是暈頭轉向。

?????這里假設大家對傅立葉變換的數學表示已經很熟悉了，撇開傅立葉變換本身和其在其他領域的應用不談，只談圖像傅立葉變換前后的對應關系。我們知道傅立葉變換 以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由 z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維 空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一 對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的 頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后 的頻譜圖，也叫功率圖（看看頻譜圖的各點的計算公式就知道為什么叫功率圖了:)），我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么 實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差 異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好 處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正玄(sin的正玄，找不到這個字,郁悶)干擾，一副帶有正玄干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心 以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

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1.使用模板處理圖像相關概念：?????

????? 模板：矩陣方塊，其數學含義是一種卷積運算。
????? 卷積運算：可看作是加權求和的過程，使用到的圖像區域中的每個像素分別于卷積核(權矩陣)的每個元素對應相
??????????????? 乘，所有乘積之和作為區域中心像素的新值。
????? 卷積核：卷積時使用到的權用一個矩陣表示，該矩陣與使用的圖像區域大小相同，其行、列都是奇數，
????????????? 是一個權矩陣。
????? 卷積示例：
????????????? 3 * 3?的像素區域R與卷積核G的卷積運算：
??????????????R5(中心像素)=R1G1 + R2G2 + R3G3 + R4G4 + R5G5 + R6G6 + R7G7 + R8G8 + R9G9
????????????

2.使用模板處理圖像的問題：
?????? 邊界問題：當處理圖像邊界像素時，卷積核與圖像使用區域不能匹配，卷積核的中心與邊界像素點對應，
???????????????? 卷積運算將出現問題。
?????? 處理辦法：
????????????? A．?忽略邊界像素，即處理后的圖像將丟掉這些像素。
????????????? B．?保留原邊界像素，即copy邊界像素到處理后的圖像。

3.常用模板：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理的傅里叶变换理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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