寫在前面的話

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作者是一名在讀的碩士研究僧，方向是機器視覺。由于視覺是一門相對復雜的學科，作者在課堂上學到的東西只是非常淺顯的內容，我們老師說是，領我們進了個門。現(xiàn)在打算利用圖書館和網(wǎng)絡上的資源進行自學。由于是剛開始寫自己的博客，并且所具備的專業(yè)知識非常的有限，難免有出錯之處，如果有朋友發(fā)現(xiàn)一些毛病，希望能夠指正。哈哈，話不多說，進入正題。?
作者使用的是岡薩雷斯的《數(shù)字圖像處理（Matlab版）》，打算先用matlab先跟著書上的內容把代碼先練一練。以后，再重新學習深入一些的知識。這里不會將書中的全部內容都列一遍，我會選擇性的把重要的部分代實現(xiàn)。

頻率域

在介紹頻率域圖像處理之前，先提幾個問題。?
1.什么是頻率域？?
2.為什么要在頻率域中進行圖像處理？

頻率域的概念?
頻率域是指從函數(shù)的頻率角度出發(fā)分析函數(shù)，和頻率域相對的是時間域。簡單說就是如果從時間域分析信號時，時間是橫坐標，振幅是縱坐標。而在頻率域分析的時候則是頻率是橫坐標，振幅是縱坐標。?
舉個例子，我們認為音樂是一個隨著時間變化的震動。但是如果站在頻域的角度上來講，音樂是一個隨著頻率變化的震動，這樣我們站在時間域的角度去觀察你會發(fā)現(xiàn)音樂是靜止的。同理，如果我們站在時間域的角度觀察頻率域的世界，就會發(fā)現(xiàn)世界是靜止的，也是永恒的。這是因為在頻率域是沒有時間的概念的，那么也就沒有了隨著時間變化著的世界了。?
另外，我們需要借助傅立葉變換，才能夠在得到函數(shù)在頻率域中的信息。

為什么要在頻率域中進行圖像處理？?
1). 可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系。一些在空間域表述困難的增強任務，在頻率域中變得非常普通；?
2). 濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質；?
3).可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結果濾波器作為空間域濾波器的指導

傅里葉變換

談到頻率域，就不得不說傅里葉變換了。傅里葉是18世紀法國的一位偉大的數(shù)學家。他最大的貢獻在于指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和或者余弦和的形式，每個正弦或者余弦乘以不同的系數(shù)（也就是被大家所熟知的傅里葉級數(shù)）。無論函數(shù)有多復雜，只要它是周期性的，并且滿足一定的數(shù)學條件，就一定可以用這樣的正弦和或者余弦和的形式來表示。甚至在有些情況下，非周期函數(shù)也可以用正弦和或者余弦和的形式來表示。用傅里葉級數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過傅里葉反變換來重建，而不會丟失任何信息。而正是所謂的“傅里葉變換”使得我們可以工作于頻率域。

一維連續(xù)函數(shù)的fourier變換

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其中，f(x)表示原函數(shù)，F（u）表示變換之后的函數(shù)。u為頻率域變量。

一維連續(xù)函數(shù)的fourier反變換?
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。。。公式編輯有點小麻煩，暫時先用截圖吧。請允許我小小的偷懶。。。

注意前面講過任何周期函數(shù)都可以被寫成若干個正弦波（余弦波）的疊加。為了便于理解，在網(wǎng)上找了幾張圖片。?
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第一幅圖是一個郁悶的余弦波cos（x）?
第二幅圖是2個賣萌的余弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x）?
第三幅圖是4個“可愛”的余弦波的疊加?
第四幅圖是10個“難受”的余弦波的疊加?
隨著余弦波數(shù)量逐漸的增長，最終疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么？

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f為原圖像， 傅里葉變換函數(shù)。傅里葉變換將函數(shù)的時域（紅色）與頻域（藍色）相關聯(lián)。頻譜中的不同成分。頻率在頻域中以峰值形式表示。?
//這里原圖是一幅動態(tài)圖，想看效果的朋友，請自行google傅立葉變換，weki上有動態(tài)圖。

二維離散傅立葉變換

圖像尺寸為M*N的函數(shù)f(x,y)DFT為

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其中，u=0,1,2,…,M-1；v=0,1,2,…,N-1?
給出F(u,v)由反DFT反變換可得到f(x,y)

傅立葉變換的基本概念：

1.頻譜

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2.相位角

傅立葉變換的性質：

共軛對稱性

如果f(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有 共軛對稱性

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2 . 周期性

復習：當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).

周期性和共軛對稱性?
對于一維變換F(u)，周期性是指F(u)的周期長度為M，對稱性是指頻譜關于原點對稱

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通過將原點的變換值移動到頻率矩形的中心位置，可簡化頻譜的?
視覺分析。這可以通過在計算一維傅立葉變換之前將f(x)乘以 (-1)^x 來完成。

周期性和共軛對稱性舉例?
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通過將原點的變換值移動到頻率矩形的中心位置，可簡化頻譜的視覺分析。這可以通過在計算二維傅立葉變換之前將f(x,y)乘以來完成。?
3. 平均值

由二維傅里葉變換的定義

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所以在原點的傅立葉變換等于圖像f(x,y)的平均灰度級?
4. 卷積定理

空間域和頻率域的基礎都是卷積定理

大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散卷積

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卷積定理

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說明 第一個表達式表明：?
兩個空間函數(shù)的卷積可以通過計算兩個傅立葉變換函數(shù)的乘積的逆變換得到。?
相反，兩個空間函數(shù)卷積的傅立葉變換恰好等于兩個函數(shù)的傅立葉變換的乘積

頻率域濾波

低通濾波器：使低頻通過而使高頻衰減的濾波器?
1.被低通濾波的圖像比原始圖像少尖銳的細節(jié)部分而突出平滑過渡部分?
2.對比空間域濾波的平滑處理，如均值濾波器

高通濾波器：使高頻通過而使低頻衰減的濾波器?
1.被高通濾波的圖像比原始圖像少灰度級的平滑過渡而突出邊緣等細節(jié)部分?
2.對比空間域的梯度算子、拉普拉斯算子

低通濾波器

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原圖像的頻譜?
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低通濾波器示意圖?
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濾波效果?

說明：這里的低通濾波，意思就是把頻率低的波留下，把頻率高的波過濾掉。示意圖是經(jīng)過居中處理的頻譜，就是從頻譜的中心到四周頻率由低到高。示意圖表示的是，留下中間低頻的，過濾點中心周圍高頻的部分。我們知道，低頻對應的圖像中變化不明顯的部分，于是，圖像就變的非常模糊。這在圖像處理中也叫平滑濾波。再介紹一個概念：圖像的銳化。就是與平滑化相對，即下面高通濾波器所達到的效果。很明顯，圖像邊緣增強了。

高通濾波

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原圖?
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原圖的頻譜?
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高通濾波器示意圖?
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效果圖?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理中的傅里叶变换和频率域滤波概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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