定義

一般定義

設有定義域和取值都在實數域中的函數y=f(x)。若f(x) 在點

??

的某個鄰域內有定義，則當自變量x在x0處取得增量

??

（點

??

仍在該鄰域內）時，相應地y取得增量

??

；如果

??

與

??

之比當

??

時的極限存在，則稱函數y=f(x) 在點

??

處可導，并稱這個極限為函數 y=f(x)在點

??

處的導數，記為

??

，即：?[3]?

對于一般的函數，如果不使用增量的概念，函數f(x)在點x0處的導數也可以定義為：當定義域內的變量x趨近于x0?時，也可記作

??

或者

??

的極限。也就是說，

幾何意義

當函數定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函數的曲線上的切線斜率。如右圖所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向于點P0時，并且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。[1]?

若曲線為一函數y=f(x)的圖像，那么割線PP0的斜率為：

當P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時，此時

??

，則P0T的斜率

??

為：

上式與一般定義中的導數定義完全相同，也就是說

??

，因此，導數的幾何意義即曲線y=f(x)在點

?

處切線的斜率。

　　

圖1.幾何意義

性質

單調性

一階導數表示的是函數的變化率，最直觀的表現就在于函數的單調性

圖2.單調性

定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)內具有一階導數，那么：

（1）若在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞增；

（2）若在(a,b)內f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞減；

（3）若在(a,b)內f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）于x軸的直線，即在[a,b]上為常數。?[3]?

在右圖可以直觀的看出：函數的導數就是一點上的切線的斜率。當函數單調遞增時，斜率為正，函數單調遞減時，斜率為負。

導數與微分

微分也是一種線性描述函數在一點附近變化的方式。微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的。可微的函數，其微分等于導數乘以自變量的微分dx，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。函數y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。?[3]?

可導的條件

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在實數域上都有定義，那么該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件。首先，要使函數f在一點可導，那么函數一定要在這一點處連續。換言之，函數若在某點可導，則必然在該點處連續。

可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導。

例子

欲求函數

在x=3處的導數。可以先求出其導函數：

其中第二項使用了復合函數的求導法則，而第三項則使用了乘積的求導法則。求出導函數后，再將x=3代入，得到導數為：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶导数概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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