傅里葉級(jí)數(shù)

法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏?#xff09;，后世稱為傅里葉級(jí)數(shù)（法語：série de Fourier，或譯為傅里葉級(jí)數(shù)）。傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

目錄 1傅里葉級(jí)數(shù)的公式 2傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性 3三角函數(shù)族的正交性 4奇函數(shù)和偶函數(shù) 5傅里葉級(jí)數(shù)的一些例子 6參閱 7參考書目、資料來源

傅里葉級(jí)數(shù)的公式

給定一個(gè)周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)：

（i為虛數(shù)單位）（1）

其中，可以按下式計(jì)算：

（2）

注意到是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時(shí)的周期信號(hào)具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期T）。k=0時(shí)，（1）式中對應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，也就是在整個(gè)周期的平均值。時(shí)具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。

傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性

至今還沒有判斷傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性充分必要條件，但是對于實(shí)際問題中出現(xiàn)的函數(shù)，有很多種判別條件可用于判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級(jí)數(shù)的一致收斂性。在閉區(qū)間上滿足狄利赫里條件的函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：

在定義區(qū)間上，x(t)須絕對可積；

在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)極值點(diǎn)；

在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。

事實(shí)上，傅立葉級(jí)數(shù)在第一類間斷點(diǎn)上收斂于初始函數(shù)左右極限的算術(shù)平均值。

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)一定是幾乎處處收斂的，即級(jí)數(shù)在除了一個(gè)可數(shù)點(diǎn)集外均收斂。

吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號(hào)。

三角函數(shù)族的正交性

所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線性無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線性表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：

奇函數(shù)和偶函數(shù)

奇函數(shù)可以表示為正弦級(jí)數(shù)：

傅里葉級(jí)數(shù)的一些例子

參閱

• 離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)
• 傅里葉變換
• 維爾斯特拉斯逼近定理

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的DCT原型 ——傅里叶级数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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