DCT變換

DCT又稱離散余弦變換，是一種塊變換方式，只使用余弦函數(shù)來表達(dá)信號(hào)，與傅里葉變換緊密相關(guān)。常用于圖像數(shù)據(jù)的壓縮，通過將圖像分成大小相等（一般為8*8）的塊，利用DCT對其進(jìn)行變換，得到更加簡潔的數(shù)據(jù)。因?yàn)閳D像像素間存在較大的空間相關(guān)性，DCT可以大大減小這些相關(guān)性，使圖像能量集中在左上角區(qū)域，從而利于數(shù)據(jù)壓縮。變換后得到的數(shù)據(jù)稱為DCT系數(shù)。這一過程是無損的。

二維DCT變換

這里來看看二維DCT變換的公式：

c(u)和c(v)為添加的系數(shù)，主要作用為使DCT變換矩陣為正交矩陣。F(u,v)即為DCT變換系數(shù)，可以通過矩陣形式來表示：

A即為正交矩陣，通過F和A逆變換即可恢復(fù)圖像數(shù)據(jù)。

下面通過一個(gè)例子來說明：

clear; clc; I = [12,23,53,16;42,16,68,45;34,62,73,26;72,15,34,28]; %數(shù)據(jù)塊 A = zeros(4); %變換矩陣A,也可以通過函數(shù)dctmtx(n)求得 for i = 0:3for j = 0:3if i == 0a = sqrt(1/4);elsea = sqrt(2/4);endA(i+1,j+1) = a*cos((j+0.5)*pi*i/4)end end D = A*I*A'; %DCT變換 D1 = dct2(I); %matlab DCT函數(shù)進(jìn)行DCT變換 D2 = A'*D*A; %DCT逆變換

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由結(jié)果可以看出，D，D1方式得到的DCT系數(shù)相同，說明矩陣形式的DCT變換公式是正確的，D2的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)I相同，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)恢復(fù)。

另外通過運(yùn)行函數(shù)dctmtx(4)可以發(fā)現(xiàn)得到的變換矩陣與A完全相同。

Matlab 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

matlab實(shí)現(xiàn)離散余弦變換有兩種方法：

一種為函數(shù)dct2( ), 使用函數(shù)dct2，該函數(shù)用一個(gè)基于FFT的算法來提高當(dāng)輸入較大的方陣時(shí)的計(jì)算速度。

另一種為函數(shù)dctmtx( ), 使用由dctmtx函數(shù)返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較小的輸入方陣（例如8×8或16×16）。

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1. 函數(shù)：dct2( )

實(shí)現(xiàn)圖像的二維離散余弦變換。調(diào)用格式為：?
B = dct2(A)?
B = dct2(A,[M N])?
B = dct2(A,M,N)?
式中A表示要變換的圖像，M和N是可選參數(shù)，表示填充后的圖像矩陣大小，B表示變換后得到的圖像矩陣。其逆變換函數(shù)為idct2( );?
代碼如下：

I = imread('1_1.jpg');%輸入灰度圖像 D = dct2(I); %DCT變換 D1 = idct2(D); %逆變換 subplot(1,2,1);imshow(I); subplot(1,2,2);imshow(uint8(D1));

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在這里可以通過函數(shù)colormap查看變換系數(shù)D。利用不同灰度值，可以發(fā)現(xiàn)D中主要數(shù)據(jù)都分布在左上角。

imshow(log(abs(D)),[]); colormap(gray(8));colorbar;

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2. 函數(shù)：dctmtx( )

D = dctmtx(N)?
式中D是返回N×N的DCT變換矩陣，如果矩陣A是N×N方陣，則A的DCT變換可用D×A×D’來計(jì)算。這在有時(shí)比dct2計(jì)算快，特別是對于A很大的情況。上面有提到過。

對于圖像的DCT變換，這里還需用到一個(gè)函數(shù)blkproc( ),其功能為對圖像分塊進(jìn)行DCT變換。?
blkproc( )定義如下：?
B = blkproc(A,[M N],Fun) ，A為輸入圖像，M*N為塊大小，Fun為處理函數(shù)?
常用的方式為：?
B = blkproc(A,[8,8],’P1*x*P2’,T,T’); T為變換矩陣，P1和P2為參數(shù)，代表T*x*T’ 。

下面為應(yīng)用例子：

I = imread('1_1.jpg'); %輸入灰度圖像 I = im2double(I); D = dctmtx(8); C = blkproc(I,[8,8],'P1*x*P2',D,D'); %D'為D的轉(zhuǎn)置 mask1=[1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; mask2=[1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; mask3=[1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];X = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask1); %保留15個(gè)系數(shù) I1 = blkproc(X,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構(gòu)圖像 X2 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask2); %保留10個(gè)系數(shù) I2 = blkproc(X2,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構(gòu)圖像 X3 = blkproc(C,[8,8],'P1.*x',mask3); %保留3個(gè)系數(shù) I3 = blkproc(X3,[8,8],'P1*x*P2',D',D); %重構(gòu)圖像 subplot(2,4,1);imshow(I); subplot(2,4,2);imshow(I1); subplot(2,4,3);imshow(I2); subplot(2,4,4);imshow(I3);

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上面代碼中，通過求得圖像DCT系數(shù)，利用mask等矩陣對其進(jìn)行量化，保留左上角主要的系數(shù)值，對于右下角的值由于其為非常小的高頻系數(shù)，量化去除后對于圖像的質(zhì)量影響不大，可以利用這一性質(zhì)對圖像進(jìn)行壓縮處理。

保留系數(shù)越多則圖像壓縮質(zhì)量越好，下面比較幾幅圖像質(zhì)量，從左到右分別為原圖，mask1，mask2，mask3；

可以看到系數(shù)保留越少，則圖像質(zhì)量越差。

總結(jié)

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