搞懂树状数组
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????? 寫下這個(gè)標(biāo)題，其實(shí)心里還是沒底的，與其說是寫博帖，不如說是做總結(jié)。第一個(gè)接觸樹狀數(shù)組還是兩年前，用什么語言來形容當(dāng)時(shí)的感覺呢？……太神奇了！真的，無法表達(dá)出那種感覺，她是那么的優(yōu)雅，10行不到的代碼，卻把事情干的如此出色！沒有了解她原理的前提下即使把代碼倒背如流也理解不了！其中，我就是一直沒搞懂地在使用她。時(shí)隔兩年，又無意遇到了她，可能是兩年的代碼經(jīng)驗(yàn)的積累，有了些新的認(rèn)識，可以自信的說理解了吧！下面我爭取用自己的方式讓更多人明白她，而不是背誦她。為了更方便的說明，文章里會(huì)自己強(qiáng)加一些概念，只是為了更好的理解，不是什么專業(yè)術(shù)語之類的。
一、樹狀數(shù)組是干什么的？
?????? 平常我們會(huì)遇到一些對數(shù)組進(jìn)行維護(hù)查詢的操作，比較常見的如，修改某點(diǎn)的值、求某個(gè)區(qū)間的和，而這兩種恰恰是樹狀數(shù)組的強(qiáng)項(xiàng)！當(dāng)然，數(shù)據(jù)規(guī)模不大的時(shí)候，對于修改某點(diǎn)的值是非常容易的，復(fù)雜度是O(1)，但是對于求一個(gè)區(qū)間的和就要掃一遍了，復(fù)雜度是O(N)，如果實(shí)時(shí)的對數(shù)組進(jìn)行M次修改或求和，最壞的情況下復(fù)雜度是O(M*N)，當(dāng)規(guī)模增大后這是劃不來的！而樹狀數(shù)組干同樣的事復(fù)雜度卻是O(M*lgN)，別小看這個(gè)lg，很大的數(shù)一lg就很小了，這個(gè)學(xué)過數(shù)學(xué)的都知道吧，不需要我說了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。
二、樹狀數(shù)組怎么干的？
??????? 先看兩幅圖（網(wǎng)上找的，如果雷同，不要大驚小怪～），下面的說明都是基于這兩幅圖的，左邊的叫A圖吧，右邊的叫B圖：
????? 是不是很像一顆樹？對，這就是為什么叫樹狀數(shù)組了～先看A圖，a數(shù)組就是我們要維護(hù)和查詢的數(shù)組，但是其實(shí)我們整個(gè)過程中根本用不到a數(shù)組，你可以把它當(dāng)作一個(gè)擺設(shè)！c數(shù)組才是我們?nèi)剃P(guān)心和操縱的重心。先由圖來看看c數(shù)組的規(guī)則，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必糾結(jié)怎么做到的，我們只要知道c數(shù)組的大致規(guī)則即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6卻是表示a5～a6的和，為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的區(qū)別的呢？或者說發(fā)明她的人為什么這樣區(qū)別對待呢？答案是，這樣會(huì)使操作更簡單！看到這相信有些人就有些感覺了，為什么復(fù)雜度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半邊和+右半邊和，而其中左半邊和是確定的c4，右半邊其實(shí)也是同樣的規(guī)則把a(bǔ)5～a8一分為二……繼續(xù)下去都是一分為二直到不能分，可以看看B圖。怎么樣？是不是有點(diǎn)二分的味道了？對，說白了樹狀數(shù)組就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，關(guān)鍵是她的巧妙！
?????? 她又是怎樣做到不斷的一分為二呢？說這個(gè)之前我先說個(gè)叫l(wèi)owbit的東西，lowbit(k)就是把k的二進(jìn)制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二進(jìn)制是1010,則lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2進(jìn)制)，介于這個(gè)lowbit在下面會(huì)經(jīng)常用到，這里給一個(gè)非常方便的實(shí)現(xiàn)方式，比較普遍的方法lowbit(k)=k&-k，這是位運(yùn)算，我們知道一個(gè)數(shù)加一個(gè)負(fù)號是把這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制取反+1，如-10的二進(jìn)制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，繼續(xù)下面。介于下面討論十進(jìn)制已經(jīng)沒有意義（這個(gè)世界本來就是二進(jìn)制的，人非要主觀的構(gòu)建一個(gè)十進(jìn)制），下面所有的數(shù)沒有特別說明都當(dāng)作二進(jìn)制。
?????? 上面那么多文字說lowbit，還沒說它的用處呢，它就是為了聯(lián)系a數(shù)組和c數(shù)組的！ck表示從ak開始往左連續(xù)求lowbit(k)個(gè)數(shù)的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是從110開始計(jì)算了0010個(gè)數(shù)的和，因?yàn)閘owbit(0110)=0010，可以看到其實(shí)只有低位的1起作用，因?yàn)楹茱@然可以寫出c[0010]=a[0010]+a[0001]，這就為什么我們?nèi)魏螖?shù)都只關(guān)心它的lowbit，因?yàn)楦呶徊黄鹱饔?#xff08;基于我們的二分規(guī)則它必須如此！），除非除了高位其余位都是0，這時(shí)本身就是lowbit。
既然關(guān)系建立好了，看看如何實(shí)現(xiàn)a某一個(gè)位置數(shù)據(jù)跟改的，她不會(huì)直接改的（開始就說了，a根本不存在），她每次改其實(shí)都要維護(hù)c數(shù)組應(yīng)有的性質(zhì)，因?yàn)楹竺媲蠛鸵玫健６S護(hù)也很簡單，比如更改了a[0011]，我們接著要修改c[0011],c[0100],c[1000]，這是很容易從圖上看出來的，但是你可能會(huì)問，他們之間有申明必然聯(lián)系嗎？每次求解總不能總要拿圖來看吧？其實(shí)從0011——>0100——>1000的變化都是進(jìn)行“去尾”操作，又是自己造的詞--''，我來解釋下，就是把尾部應(yīng)該去掉的1都去掉轉(zhuǎn)而換到更高位的1,記住每次變換都要有一個(gè)高位的1產(chǎn)生，所以0100是不能變換到0101的，因?yàn)闆]有新的高位1產(chǎn)生，這個(gè)變換過程恰好是可以借助我們的lowbit進(jìn)行的，k +=lowbit(k)。
?????? 好吧，現(xiàn)在更新的次序都有了，可能又會(huì)產(chǎn)生新的疑問了：為什么它非要是這種關(guān)系啊？這就要追究到之前我們說c8可以看作a1～a8的左半邊和+右半邊和……的內(nèi)容了，為什么c[0011]會(huì)影響到c[0100]而不會(huì)影響到c[0101]，這就是之前說的c[0100]的求解實(shí)際上是這樣分段的區(qū)間 c[0001]~c[0001] 和區(qū)間c[0011]~c[0011]的和，數(shù)字太小，可能這樣不太理解，在比如c[0100]會(huì)影響c[1000]，為什么呢？因?yàn)閏[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的數(shù)變化并會(huì)直接作用于c[1000]，因?yàn)樗奈膊?不能一下在跳兩級在產(chǎn)生兩次高位1,是通過c[0110]間接影響的，但是，c[0100]卻可以跳一級產(chǎn)生一次高位1。
???????? 可能上面說的你比較繞了，那么此時(shí)你只需注意：c的構(gòu)成性質(zhì)（其實(shí)是分組性質(zhì)）決定了c[0011]只會(huì)直接影響c[0100]，而c[0100]只會(huì)直接影響[1000]，而下表之間的關(guān)系恰好是也必須是k +=lowbit(k)。此時(shí)我們就是寫出跟新維護(hù)樹的代碼：
void add(int k,int num) {while(k<=n){tree[k]+=num;k+=k&-k;} } ?????? 有了上面的基礎(chǔ)，說求和就比較簡單了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法與上面的恰好逆過來，而且寫法也是逆過來的，具體就不累述了： int read(int k)//1~k的區(qū)間和 {int sum=0;while(k){sum+=tree[k];k-=k&-k;}return sum; }三、總結(jié)一下吧
????????? 首先，明白樹狀數(shù)組所白了是按照二分對數(shù)組進(jìn)行分組；維護(hù)和查詢都是O(lgn)的復(fù)雜度，復(fù)雜度取決于最壞的情況，也是O(lgn);lowbit這里只是一個(gè)技巧，關(guān)鍵在于明白c數(shù)組的構(gòu)成規(guī)律;分析的過程二進(jìn)制一定要深入人心，當(dāng)作心目中的十進(jìn)制。
總結(jié)
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