常见数列求和
等差，等比
等差：
Sn=a1n+n(n?1)d2S{n}=a_{1}n+\frac{n(n-1)d}{2}Sn=a1?n+2n(n?1)d?
Sn=dn22+(a1?d2)nS_{n}=\frac{dn^{2}}{2}+(a_{1}-\fracozvdkddzhkzd{2})nSn?=2dn2?+(a1??2d?)n
Sn=n?(a1+a2)2S_{n}=\frac{n*(a_{1}+a_{2})}{2}Sn?=2n?(a1?+a2?)?
等比：
Sn=a1(1?qn)1?q,q=?1S_{n}=\frac{a_{1}(1-q_{n})}{1-q},q =\not 1Sn?=1?qa1?(1?qn?)?,q=??1
Sn=an,q=1S_{n}=an,q=1Sn?=an,q=1
分組求和
等差和等比相加的得到的數列，直接分別求和，然后再相加。
該數列既不是等比也不是等差數列。
帶絕對值的求和
找到正負的分界，然后分別計算后相加。
分奇偶項的求和，帶 (?1)n(-1)^{n}(?1)n
錯位相減
等比乘等差：先乘公比后錯位相減。
注意前后兩項，最后一項為負，中間的值指數一定要注意。
裂項求和
常見裂項：
1n(n+1)=1n?1n+1\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}n(n+1)1?=n1??n+11?
1n(n+k)=1k(1n?1n+k)\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})n(n+k)1?=k1?(n1??n+k1?)
1n2?1=12(1n?1?1n+1)\frac{1}{n^{2}-1}= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)n2?11?=21?(n?11??n+11?)
14n2?1=12(12n?1?12n+1)\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)4n2?11?=21?(2n?11??2n+11?)
n+1n(n?1)?2n=1(n?1)?2n?1?1n?2n\frac{n+1}{n \left( n-1 \left) \cdot 2^{n}\right. \right.}= \frac{1}{\left( n-1 \left) \cdot 2^{n-1}\right. \right.}-\frac{1}{n \cdot 2^{n}}n(n?1)?2nn+1?=(n?1)?2n?11??n?2n1?
1n+1?n=n+1+n\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}n+1??n?1?=n+1?+n?
1n+k?n=1k(n+k+n)\frac{1}{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}}=\frac{1}{k}(\sqrt{n+k}+\sqrt{n})n+k??n?1?=k1?(n+k?+n?)
裂完項后，一般可以鄰項相消，或者隔幾項相互消除。
總結
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