回憶

微分方程： 含有自變量、未知函數及未知函數的某些導數的方程式稱為微分方程。

當未知函數是一元函數時就稱為常微分方程。未知函數是二元，或多元以上函數時就稱是偏微分方程。

理解線性與非線性：

線性方程：在代數方程中,僅含未知數的一次冪的方程稱為線性方程。這種方程的函數圖象為一條直線，所以稱為線性方程。可以理解為：即方程的最高次項是一次的，允許有0次項，但不能超過一次。比如ax+by+c=0，此處c為關于x或y的0次項。

如果一個微分方程中僅含有未知函數及其各階導數作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程。可以理解為此微分方程中的未知函數y是不超過一次的，且此方程中y的各階導數也應該是不超過一次的。

關于解方程

首先，應掌握方程類型的判別，因為不同類型的方程有不同的解法，同一方程，可能屬于多種不同的類型，則應選擇較易求解的方法。

對于一階方程，通常可按可分離變量的方程，齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的順序進行，特別是一階線性方程和伯努利防火才能還應注意到有時可以以x為因變量,y為自變量得到。

對于與高階方程，一般可按線性方程、歐拉方程、高階可降階的方程進行。

可分離變量的方程：

微分方程中既有變量X,Y的函數，又有他們的微分dx,dy，能把變量x以及他的一元函數和他的微分dx放到方程的一端，將能把變 量y以及他的一元函數和他的微分dy放到方程的一端，這樣的微分方程就叫可分離變量方程。兩端分別積分得到微分方程的解的解法就叫分離變量法。

齊次方程：
設微分方程$$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$$
右端的函數$f(x,y)$可改寫成 $\frac{y}{x}$ 的函數 $h(\frac{y}{x})$ ，則稱方程為齊次方程。

例：
如下微分方程：

可分別改寫成：

所以它們是齊次方程！

微分方程的解

帶入微分方程使之成為恒等式的函數。

通常還要求解具有和階數一樣的連續導數，如二階方程的解應具有連續的二階導數.

參考

第七章第一講微分方程及五大類型
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我們一起學習什么是“齊次微分方程”
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1637405405123512003&wfr=spider&for=pc

總結

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