介紹：

1.在 Matlab 中，用大寫字母 D 表示導數，Dy 表示 y 關于自變量的一階導數，D2y 表示 y 關于自變量的二階導數，依此類推.函數 dsolve 用來解決常微分方程（組）的求解問題，調用格式為

? ? ? ? ? X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

如果沒有初始條件，則求出通解，如果有初始條件，則求出特解

系統缺省的自變量為 t。

?

2.函數?dsolve 求解的是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號解.但是，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，MATLAB 具有豐富的函數，將其統稱為?solver，其一般格式為：

? ? ? ? ? ?[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

說明：(1)solver 為命令?ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之一.

(2)odefun 是顯示微分方程?y?'??=?f?(t?, y) 在積分區間?tspan =?[t?0?,?t?f?]?上從?t0?到?t?f??用初始條件?y0?求解.

(3)如果要獲得微分方程問題在其他指定時間點?t?0?,?t1?,?t?2?, , t?f??上的解，則令tspan =?[t?0?,?t1?,?t?2?, t f?]?(要求是單調的).

?(4)因為沒有一種算法可以有效的解決所有的?ODE 問題，為此，Matlab 提供了多種求解器?solver，對于不同的?ODE 問題，采用不同的?solver

?

3．在?matlab 命令窗口、程序或函數中創建局部函數時，可用內聯函數?inline，inline 函數形式相當于編寫?M 函數文件，但不需編寫?M-文件就可以描述出某種數學關系.調用?inline 函數，只能由一個?matlab 表達式組成，并且只能返回一個變量，不允許[u,v]這種向量形式.因而，任何要求邏輯運算或乘法運算以求得最終結果的場合，都不能應用?inline 函數，inline 函數的一般形式為：

? ? ? ?FunctionName=inline(‘函數內容’, ‘所有自變量列表’)?

?

例如：（求解?F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b 是標量；x 是向量 ）在命令窗口輸入:

Fofx=inline('x.^2.*cos(a.*x)-b','x','a','b');g = Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)

?

系統輸出為：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用內聯對象函數?inline 不需要另外建立?m 文件，所有使用比較方便，另外在使用?ode45 函數的時候，定義函數往往需要編輯一個?m 文件來單獨定義，這樣不便于管理文件，這里可以使用?inline 來定義函數。

例子：

一、ex(求精確解)：

1. 求解微分方程?y?'?+?2xy?=?xe-x2

syms x y; y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')

運行結果：

2. 求微分方程?xy?'?+?y?-?e?x??=?0?在初始條件?y?(1)?=?2e?下的特解并畫出解函數的圖形.

syms x y; y=dsolve('x*Dy+y-x*exp(1)=0','y(1)=2*exp(1)','x');ezplot(y)

運行結果：

?

3. 求解微分方程組在初始條件x (t?=?0)=?1,?y (t?=0?)=?0?下的特解,并畫出解函數的圖像。

syms x y t;[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');simplify(x);simplify(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto

其中，simplify函數可以對符號表達式進行簡化。以下是運行結果：

?

二、ex(近似解):

1.?求解微分方程初值問題的數值解，求解范圍為區間 [0,0.5] 。

fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); plot(x,y,'o-')

?

?

2.求解微分方程，y(0) = 1,y(0) = 0 的解，并畫出解的圖像。

通過變換，將二階方程化為一階方程組求解.令，則

? ? ? ? ??

編寫 vdp.m 文件：

function fy=vdp(t,x)fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];end

命令行輸入：

y0=[1;0] [t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)

在使用ode45函數的時候,定義函數往往需要編輯一個 .m文件來單獨定義,這樣不便于管理文件，因此編寫 inline 函數：

fy=inline('[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]','t','x')

運行：

結果一致！

?

三、ex(用 Euler 折線法求解):

Euler 折線法求解的基本思想是將微分方程初值問題

? ? ? ? ? ? ? ?

化成一個代數(差分)方程，主要步驟是用差商替代微商，于是

? ? ? ? ? ?

記，從而，于是

? ? ? ? ?

1.?用 Euler 折線法求解微分方程初值問題

? ? ? ? ? ? ? ?

的數值解（步長h取 0.4），求解范圍為區間[0,2]

本題的差分方程為：

? ?

clear; f=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=[x,y];%數值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替換函數 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end; szj; plot(szj(:,1),szj(:,2))

說明：替換函數?subs 例如：輸入?subs(a+b,a,4) 意思就是把?a 用?4 替換掉，返回?4+b，也可以替換多個變量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分別用字符?alpha 替換?a 和?2 替換?b，返回?cos(alpha)+sin(2)。

?

偏微分方程解法

?

Matlab 提供了兩種方法解決?PDE 問題，一是使用?pdepe 函數，它可以求解一般的?PDEs,具有較大的通用性，但只支持命令形式調用；二是使用?PDE 工具箱，可以求解特殊?PDE 問題，PDEtoll 有較大的局限性，比如只能求解二階?PDE問題，并且不能解決片微分方程組，但是它提供了?GUI 界面，從復雜的編程中解脫出來，同時還可以通過?File—>Save As 直接生成?M 代碼.

實例：

求解一個正方形區域上的特征值問題：

? ? ??

?

正方形區域為：。

?

(1)使用?PDE 工具箱打開?GUI 求解方程

(2)進入?Draw 模式，繪制一個矩形，然后雙擊矩形，在彈出的對話框中設置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,確認并關閉對話框

(3)進入?Boundary 模式，邊界條件采用?Dirichlet 條件的默認值

(4)進入?PDE 模式，單擊工具欄?PDE 按鈕，在彈出的對話框中方程類型選擇Eigenmodes,參數設置?c=1,a=-1/2,d=1,確認后關閉對話框

(5)單擊工具欄的?D?按鈕，對正方形區域進行初始網格剖分，然后再對網格進一步細化剖分一次

(6)點開?solve 菜單，單擊?Parameters 選項，在彈出的對話框中設置特征值區域為[-20,20]

(7)單擊?Plot 菜單的?Parameters 項，在彈出的對話框中選中?Color、Height(3-D plot)和?show mesh 項，然后單擊?Done 確認

(8)單擊工具欄的“=”按鈕，開始求解

得到結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab学习——求解微分方程(组)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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