說明：來自：3Blue1Brown，關鍵點的記錄，用來當筆記隨時查閱的

目錄

1??導論 2??導數的悖論 3??用幾何來求導 4??鏈式法則和乘積法則 5??指數函數求導 6??隱函數求導 7??極限 8??積分與微積分基本定理 9??面積和斜率有什么聯系？ 9.1??腳注：高階導數 10??泰勒級數

導論

微積分的三個中心思想：積分、微分、兩者互逆。

（難怪正態分布這么多見……）

f(x) 可以是任意函數

微積分基本定理：積分與導數之間的來回轉化關系，也就是某個圖像下方面積函數的導數能夠還原出定義這個圖像的函數。它將積分和導數兩大概念聯系起來。

導數的悖論

數學法則只要與現實有關，都是不確定的；若是確定的，都與現實無關。——阿爾伯特·愛因斯坦

瞬時速度是很微小時間內距離的變化 (ds/dt)，真正的 “瞬時速度” 是不存在的。

dt 非常非常小，無限逼近0；兩點連線的斜率→某一個點的斜率。

左上角長方形里的內容才是導數的完全體。

dt 逼近0時，后面兩項就能完全忽略了。

更一般滴：ds/dt (t) = 3(t)^2

t 逼近0，一切變得簡單。

導數不是用來測量 “瞬時變化” 的，距離-時間函數的導數在 0 秒時等于 0 的真正含義是指在第 0 秒 附近車速的最佳近似 是勻速 0 米每秒。

但這不表示此時的車就是靜止的，只說它此時的運動速度近似于勻速的 0，只是近似。

瞬時變化率 實際上是 變化率的最佳近似。

用幾何來求導

so，df/dx = 2x

1/x*dx = (x+dx)*-d(1/x) = -x*d(1/x) - dx*d(1/x) ≈ -x*d(1/x)

dx = 2*d√x*√x, d√x/dx = 1/2√x

d(cos(θ))/d(θ) = d(sin(90-θ))/d(θ) = -cos(90-θ) = -sin(θ)

鏈式法則和乘積法則

dx 是很小很小的數，為了直觀畫成比較寬的樣子。

指數函數求導

接下來用鏈式法則，應用到所有指數函數求導：

事實上，微積分中指數函數基本都是以 e^{某常數*t} 的形式出現的。

之所以以 e 為底數，指數上的那個常數就有了一目了然的定義。在許多自然現象里，變化率都和變化量成正比。那個常數就是變化率和數量的比例系數。

比如投資收益：

和一杯熱水在室內溫度的變化：

隱函數求導

它實際是表示你從 (x,y) 點開始，走了 (dx,dy) 這一點小段距離后，x^2+y^2 的值相應變化了多少。

當你把每一小步都落在這個圓上的時候，你等于就是需要 S 的值保持不變，dS=0。

要保證每一步都踩在圓上，條件就是要讓表達式 2x*dx + 2y*dy 一直等于 0。

嚴格意義上講，這個條件實際是保證每一步都落在過圓的一條切線上，而不是圓本身。但步子足夠小的話，就沒區別了。

極限

右邊的式子就是導數的正式定義。h 和 dx 是一回事。

dx 可以解讀為一個具體的，有限小的變化量。隨時考慮 dx 逼近于 0 時的情況。

我們討論極限時，討論的是當變量逼近于 0 時的影響，而非無窮小的變化量的影響。

導數可以幫助我們求極限。

可導意味著在無限放大后可以被看作是直線。

可以去 x 為離 a 十分相近的值，求 x 逼近于 a 時的極限值。

變化量 dx 取的越小，這個比值就越精確，所以這個比值就等于極限值的精確值。

當求 0/0 類極限時，可以對分子分母求導，然后再把數代入。這就是羅必塔法則。

導數的定義就是計算 0/0 型的極限。

積分與微積分基本定理

事實上，有無數個原函數（因為常數的導數為 0，所以可以給原函數增加一個常數項 C），但是積分的下限確定了 C 的值。

對任意函數求積分的時候，是在把 x 在一定范圍內的所有 f(x)*dx 值加起來，然后求 dx 趨近于 0 時，加和趨近的值。

求積分的第一步是找原函數，使其導數等于積分內的函數。

面積和斜率有什么聯系？

求平均高度？

平均高度 = 面積/寬度

函數的平均值提供了另外一種角度去看待為何積分和求導是互逆的運算。

另一個角度：sin(x)（高度）的平均值就是原函數（cos(x)）從 x=0 到 x=pi 所有切線斜率的平均值。

從這個角度考慮，在某一區間上的所有切線的平均斜率就等于起點和終點連線的斜率。

當問題可以通過細分然后再相加的方式估算的話，可以用微積分解決（上一章）。

如果在有限個數量的情形，可以用相加的方法解決問題，那么推廣到連續變量，也就是無限個數量中的話，可以用積分來描述（本章）。這種直覺特別在概率中經常出現。

腳注：高階導數

泰勒級數

泰勒級數很大程度上就是為了在某個點附近用多項式函數去近似其他函數。其原因是多項式比別的函數友好。好計算，好求導，好積分。

用導數的方法去找近似：

幾個要點：

• 階乘的形式是自然而然出現的。

• 往近似多項式中添加更高次項時，低階的項并不會因此而改變。多項式任意 n 階的導數在 x=0 時的值都由唯一的一個系數控制。

累加有限多項的式子叫做 “泰勒多項式”，累加無限多項就是 “泰勒級數”。

收斂：一個級數加的越多，它的和越接近某個確定的數值，這個級數 “收斂” 到那個值。也可以說，累加無限多項的和，即這個級數就 “等于” 它收斂到的值。

發散：能讓多項式和收斂的最大取值范圍叫做這個泰勒級數的收斂半徑。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《微积分》的本质笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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