這篇文章是我尋找眾多博客總結(jié)歸納的，還有找到的部分經(jīng)典例題，相信看完的你一定會(huì)有新的感悟！加油！

一、一維前綴和

一維的前綴和數(shù)組sum[ i ]就是存的是 前i個(gè)數(shù)的總和 。
那么x到y(tǒng)區(qū)間的總和就是 sum[ y ] - sum[ x ]

應(yīng)用：

1、求一個(gè)數(shù)前面的所有數(shù)的和：遞推；

2、求較多區(qū)間( l , r )之間的數(shù)的和：求前綴和之后 ans=a[r]-a[l-1];

例：HJ澆花、color the ball;

3、多組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)都用同一總數(shù)組來操作，如果一組數(shù)據(jù)一組數(shù)據(jù)遍歷的話很容易超時(shí)，那么可以將那個(gè)總數(shù)組答案化(即，將該數(shù)組修改成接下來的每組數(shù)據(jù)需要的數(shù))，接著按輸入找數(shù)組就行了。

例：Olympiad；

4、將兩種不同的物品分離，求最少的操作次數(shù)：一種物品從前面取前綴和，另一種從后面取“后綴和”，遍歷所有點(diǎn)，總個(gè)數(shù)去掉兩個(gè)數(shù)組里數(shù)即為不符合的需要改動(dòng)的個(gè)數(shù)。

例：戰(zhàn)馬列隊(duì)；

二、二維前綴和

二維的前綴和如sum[ i ][ j ]是指 (i,j)點(diǎn)的左上角的矩陣(從（1，1）開始)的各數(shù)總和。

求二維前綴和的方法：

a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

以下是對(duì)該式子的解釋：

如圖：圖一點(diǎn)（i，j）的意義：紅色區(qū)域的面積；假設(shè)其周圍的數(shù)已求出前綴和，那么（i,j-1）點(diǎn)就是圖二黃色區(qū)域的面積，（i-1,j）就是圖三藍(lán)色區(qū)域的面積。那（i,j）的求法是圖一整個(gè)紅色區(qū)域去點(diǎn)黃色和藍(lán)色區(qū)域？不，多加了綠色區(qū)域，還要去掉綠色區(qū)域；
即：a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

應(yīng)用：可以快速的求出矩陣中任何一個(gè)子矩陣的和，如：
1、求長(zhǎng)為l且右下角頂點(diǎn)為(i,j)的正方形面積：

sum[i][j] - sum[i][j-l] - sum[i-l][j] + sum[i-l][j-l]。

2、求左上角為（x1,y1），右下角為（x2,y2）的矩形的面積：

sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];

前提：矩陣中的所有的數(shù)已求前綴和；
我們要算的是 D區(qū)域 (以（x1,y1）為左上角，（x2,y2）為右下角的矩形) 的面積,那么sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]即總的面積去掉A+B的面積去掉A+C的面積，多減了一個(gè)A的面積，再加上。

例：激光炸彈，最大正方形，Conturbatio。

三、一維差分

可以簡(jiǎn)單理解為：“相鄰兩個(gè)數(shù)之差”；
差分就是數(shù)組b對(duì)于數(shù)組a有b[ i ] = a[ i ] - a[ i-1 ]（2 <= i <= n），b就是a的差分。
性質(zhì)：差分的前綴和是原數(shù)組，前綴和的差分也是原數(shù)組(差分是前綴和的逆狀態(tài)；
應(yīng)用：給定多個(gè)區(qū)間，將區(qū)間里的所有數(shù)相加或相減一個(gè)數(shù)。如果挨個(gè)區(qū)間遍歷的話，很可能超時(shí)，那么可以用差分：
例如 將區(qū)間（l,r）中的所有的數(shù)+1，將所有數(shù)差分后，a[l]++,a[r+1]--; 再求前綴和即為變換后的區(qū)間；

例：fancy的區(qū)間、最高的牛、增減序列；

四、二維差分

根據(jù)二維前綴和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相鄰的數(shù)（由一維可以推出），并且由前面范圍的數(shù)相加得到這個(gè)位置的數(shù)。那么類比二維前綴和和一維差分，可以簡(jiǎn)單推測(cè)出二維差分的公式:

f[i][[j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];

(二維差分就是二維前綴和的逆運(yùn)算，所以與正好二維前綴和公式相反。)

性質(zhì)：

二位前綴和通過二維差分后變換成原數(shù)組；

二維差分通過二維前綴和后也會(huì)變成原數(shù)組；

如何從差分矩陣得到原矩陣呢？
a[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]; (即前綴和公式);
應(yīng)用：將所給矩形中的所有的數(shù)加上一個(gè)數(shù)或減掉一個(gè)數(shù)。
例：將以（x1,y1）為左上角，以（x2,y2）為右下角的矩形中的所有的數(shù)+c：

f[x1][y1]+=c; f[x1][y2+1]-=c; f[x2+1][y1]-=c; f[x2+1][y2+1]+=c;

再將二維數(shù)組求前綴和即得到變換后的數(shù)組；
對(duì)上述公式的解釋：

前提：數(shù)組已二維差分；

如圖：我們的目的是將圖一紫色矩形中的所有數(shù)字+c，在一維差分中，區(qū)間中的數(shù)加減只需對(duì)邊界操作，二維差分也是如此。
只是將點(diǎn)（x1,y1）+c后會(huì)影響到全部的區(qū)域（即圖二黃色區(qū)域，原因：之后要取前綴和），為了消除影響，則要（x1,y2+1）-c,(即圖三藍(lán)色區(qū)域),（x2+1,y1）-c(即圖四藍(lán)色區(qū)域)，會(huì)發(fā)現(xiàn)有重復(fù)部分，去掉重復(fù)：（x2+1,y2+1）+c;

模板：二維差分模板——差分矩陣；

例題：方格稿紙

參考來源：
https://blog.csdn.net/Zeolim/article/details/86770827
https://blog.csdn.net/mrcrack/article/details/99701435
https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104506724

本蒻第一次寫博客hh，肯定有不足的地方，歡迎各位大佬前來指正！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的前缀和差分 精讲（一维、二维、附例题！）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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