對泊松分布的一點理解

如題，自從知道（或者說聽說更恰當）了泊松分布之后，就一直很奇怪它的原理。所以找了一些資料來幫助理解。

果然，像老師說的那樣：概率統計并不好學，覺得簡單的人只不過是還沒有完全掌握。

泊松分布和二項分布

泊松分布和二項分布之間有極限近似關系，就說明它們之間一定存在著一些本質上的聯系：

二項分布是說，已知某件事情發生的概率是p，那么做n次實驗，事情發生的次數就服從二項分布。

泊松分布是指，某段連續的時間內某件事情發生的次數。而在這個情形下，“某件事情”發生所用的時間是可以忽略的。例如，$5min$內電子元件遭受脈沖的次數，就服從于泊松分布。

Poisson分布的兩種定義

要討論Poisson分布的本質，不妨從它的定義入手

定義一

一個隨機變量X，只能取非負整數（X = 0, 1, 2, …），且相應的概率為
$$e^{?\lambda }\frac{{\lambda }^x}{x!}$$
則稱該變量服從Poisson分布。

這個定義就是我們平時考試或者理論工作時用的Poisson隨機變量的定義

定義二（Poisson Process的定義）

假定一個事件在一段時間內隨即發生，且符合以下條件：

將該時間段無限分割成若干個小的時間段，在這個接近于零的小時間段內，該事件發生一次的概率于這個極小時間段的長度成正比。

在每一個極小時間段內，該事件發生兩次及以上的概率恒等于零。

該事件在不同的小時間段里，發生與否相互獨立。

則該事件稱為Poisson Process。

為什么現實生活中的情況（例如醫院的例子）會服從Poisson分布的第一定義？

以第二定義作為橋梁，就容易理解了。在現實生活中的情況，如果事件是相互獨立的，那么很容易就能符合Poisson分布的第二定義，因此也就符合Poisson分布

公式的推導

將一段時間$T$做劃分，等分為$n$份。假設在每一段時間內，事件發生的概率為$p$。則在$T$時間內，事件發生$k$次的概率為：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}\text{\hspace{1em}(1)}$$
這里的概率$p$需要求解，方法如下：

顯然$(1)$式服從二項分布，二項分布的期望為：
$$E(X)=np=\lambda$$
那么：
$$p=\frac{\lambda }{n}\text{\hspace{1em}(2)}$$
將$(2)$式回代入$(1)$式，得到：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}=\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1?\frac{\lambda }{n}{)}^{n?k}\text{\hspace{1em}(3)}$$
計算$(3)$式的極限，得：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1?\frac{\lambda }{n}{)}^{n?k}=e^{?\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$$
這就是Poisson分布得概率密度函數，即
$$P(X=k)=e^{?\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$$
其中$\lambda =np$

泊松分布是二項分布n很大而p很小時的一種極限形式

二項分布：KaTeX parse error: \tag works only in display equations

泊松分布：${\lim }_{n\to \infty }{C}_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}={\lim }_{n\to \infty }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1?\frac{\lambda }{n}{)}^{n?k}=e^{?\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$

其中$np=\lambda$，且在泊松分布里$n\to \infty$很大，而$p=\frac{\lambda }{n}$很小

總結

以上是生活随笔為你收集整理的对泊松分布的一点理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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