泊松分布是一個離散型隨機變量分布，其分布律是：

P(X=k)=λke?λk!
根據離散型隨機變量分布的期望定義，泊松分布的期望：

E(X)=∑k=0∞k?λke?λk!
因為k=0時：

k?λke?λk!=0
所以：
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!
做一下變換：
E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!=∑k=1∞λke?λ(k?1)!=∑k=1∞λk?1λe?λ(k?1)!=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!
這里需要用到泰勒展開式，我們知道常用的泰勒展開式中：
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk?1(k?1)!
因此，泊松分布的期望為:
E(X)=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!=λe?λeλ=λ
對于方差 D(X)，先求出 E(X2):
E(X2)=∑k=0∞k2?λke?λk!=λe?λ∑k=1∞kλk?1(k?1)!=λe?λ∑k=1∞(k?1+1)λk?1(k?1)!
=λe?λ(∑m=0∞m?λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k?1)
=λe?λ(λ?∑m=1∞λm?1(m?1)!+∑m=0∞λmm!)
=λe?λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)
所以：
D(X)=E(X2)?(E(X))2=λ(λ+1)?λ2=λ
因此，泊松分布的期望和方差為：
E(X)=λ
D(X)=λ

總結

以上是生活随笔為你收集整理的泊松分布的期望和方差推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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