概率论-泊松分布
寫這篇文章不在于講述泊松分布性質，而只是證明泊松分布。
當二項分布的n很大而p很小時，泊松分布可作為二項分布的近似。
概率相加為1證明
由分布律的定義知道，分布律應符合：
∑i=0npi=∑P{X=i}=1\sum_{i=0} ^{n} p_{i} =\sum P\{X=i\}=1∑i=0n?pi?=∑P{X=i}=1
泊松分布為離散型隨機變量，公式：
P{X=k}=λke?λk!,k=0,1,...nP\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,...nP{X=k}=k!λke?λ?,k=0,1,...n
證明概率相加為1。
∑0∞P{x=k}=∑0∞λke?λk!=e?λ∑0∞λkk!\sum_{0}^{\infty}P\{x=k\}=\sum_{0}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}0∑∞?P{x=k}=0∑∞?k!λke?λ?=e?λ0∑∞?k!λk?
其中：
∑0∞λkk!=eλ\sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}0∑∞?k!λk?=eλ
這是無窮級數exe^xex的展開式：
f(x)=ex=1+x+12!x2+.....1k!xkf(x)=e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+.....\frac{1}{k!}x^kf(x)=ex=1+x+2!1?x2+.....k!1?xk
當x=λ\lambdaλ時，有
f(λ)=∑0∞λkk!=eλf(\lambda)= \sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}f(λ)=0∑∞?k!λk?=eλ
那么泊松分布：
∑P{X=k}=e?λeλ=1\sum P\{X=k\}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1∑P{X=k}=e?λeλ=1
證畢
總結
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