Python包

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from numpy import power

from scipy.special import comb

相關知識

Bernoulli Experiment (伯努利試驗)

對于一個試驗（事件），如果重復發生的概率是獨立的（互補影響），那么它是獨立試驗。特別的，如果這個試驗只存在兩種結果，則稱其為伯努利試驗。

Binomial Distribution (二項式分布)

對于重復

次的伯努利試驗，我們可以計算成功

次的概率：

def BinomialDist(n, k, p=.5):

return comb(n, k) * power(p, k) * power(1-p, n-k)

e.g. 假設我們拋一枚硬幣，總共拋10次，求10次都是正面的概率？

解：

驗證一下我們的函數：

BinomialDist(10, 10) == power(0.5, 10)

True

e.g. 假設我們拋一枚硬幣，總共拋10次，分別求

次是正面的概率？

ks = np.linspace(0, 10, 11) #ks=0,1,2,...,10

Plst = BinomialDist(10, ks)

plt.plot(Plst, '.')

plt.title(r'$P(X=k),\ X \sim B(10,0.5)$')

plt.show()

從上圖可以看出，

時候最大，這符合我們的預期：拋10次硬幣，正面朝上的次數最有可能為5。即隨機變量

，

。

簡單證明一下

：預備公式：

離散型隨機變量

的期望：

這里

，而

計算一下

，ks相當于

，Plst相當于

print('mean =', (ks*Plst).sum())

print('mean =', 10*0.5)

mean = 5.0

mean = 5.0

其他證明方法和方差（

）可以參考

總結，如果隨機變量

的概率滿足

二項式分布，則

。

定義

二項式分布

要求

必須為已知數，但是生活中很多事情是沒法統計出或者不存在精確的總數，這些事情往往是在一段連續的時間內出現一定的次數，相互之間沒有影響（隨機發生），并且單次事件耗時和概率幾乎可以忽略（只有出現或者未出現，類似二項式分布；任意時刻發生的概率幾乎為0）。例如，發生的次數。

由于事情是隨機發生的，也就是在統計的一定時間內，任意時刻都有可能發生，所以我們就要對二項式公式改進。假設一個小時內發生了

次，如果我們10分鐘統計一次，總共統計

次，我們期待

，也就是

次需要分別散落在6個10分鐘內，顯然

次可能出現在一個10分鐘內。那么1秒鐘統計一次呢？還是不行，因為還是存在1秒鐘發生

次的可能性。為了保證單位時間內最多只有一次事件發生，泊松分布將

，那么單次事件只能發生在

時間內。

我們可以統計出一段時間內出現的平均次數

，那么可以認為單次事件概率

，于是二項式分布就變成了：

其實

的定義就是（參見：

而

。

最終泊松分布定義為：若

服從參數為

的泊松分布，記為

或

。

相關性質：

PMF與PDF

雖然

，并且公式也可以計算

的非整數，但是泊松分布還是針對離散型隨機變量，所以上述公式又稱為泊松分布的PMF（概率質量函數）。PMF（Probability Mass Function，概率質量函數）: 是對離散隨機變量的定義。是離散隨機變量在各個特定取值的概率。該函數通俗來說，就是對于一個離散型概率事件來說，使用這個函數來求它的各個成功事件結果的概率。

PDF（Probability Density Function，概率密度函數 )：是對連續性隨機變量的定義。與PMF不同的是，PDF在特定點上的值并不是該點的概率, 連續隨機概率事件只能求一段區域內發生事件的概率, 通過對這段區間進行積分來求。通俗來說, 使用這個概率密度函數將想要求概率的區間的臨界點（最大值和最小值）帶入求積分，就是該區間的概率。

參數lambda

我們來看不同參數

的泊松分布情況。注意，由于是離散隨機變量，所以我們對

只能取

的整數。

from scipy.special import factorial

Xs = np.linspace(0, 50, 51)

def PD(k, lmd):

return np.power(lmd, k) * np.exp(-lmd) / factorial(k)

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=1), '*--', label=rf'$\lambda=1$')

plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=5), '^--', label=rf'$\lambda=5$')

plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=10), '.', label=rf'$\lambda=10$')

plt.plot(Xs, PD(Xs, lmd=15), '+', label=rf'$\lambda=15$')

plt.legend()

plt.show()

從上圖中，可以看出，泊松分布圍繞著

為中心的，而且

越大，越對稱，也越像正態分布。

練習題

e.g.

與正態分布的關系

知乎上有個正態分布是所有分布趨于極限大樣本的分布，屬于連續分布。二項分布與泊松分布，則都是離散分布。二項分布的極限分布是泊松分布，泊松分布的極限分布是正態分布，即

，當

很大時，可以近似相等。當

很大時（還沒達到連續的程度），可以用泊松分布近似代替二項分布；當n再變大，幾乎可以看成連續時，二項分布和泊松分布都可以用正態分布來代替！

乍一看，好像是這么回事，但是仔細想想我們本來就是假設

。從上面的實驗中我們發現，

越大越接近正態分布。

簡書上一篇

比較大的時候，泊松分布會變成均值為

，方差為

的正態分布：

個人認為這個結論也是明顯不對，因為不論參數

，

都可以

。不過后半句話應該是對的。

根據這篇數學

也就是

和

時，變成了

：

這與我們的實驗也是相符的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python泊松分布_泊松分布与Python图解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。