MacCormack差分格式的全局誤差分析

問題

請分析MacCormack差分格式的全局誤差：

$$u_{n+\frac{1}{2}}=u_n+h{u}_n^{\prime }$$

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+u_{n+\frac{1}{2}}+h{u}_{n+\frac{1}{2}}^{\prime }\right)$$

解答思路

首先，得把這個格式的寫法改改，寫成：

$$\begin{array}{rl}{\tilde{u}}_{n+1}& =u_n+h{u}_n^{\prime }\\ u_{n+1}& =\frac{1}{2}\left[u_n+{\tilde{u}}_{n+1}+h{\tilde{u}}_{n+1}^{\prime }\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(MC)}$$

或者

$${\tilde{u}}_{n+\frac{1}{2}}=u_n+h{u}_n^{\prime }$$

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+{\tilde{u}}_{n+\frac{1}{2}}+h{\tilde{u}}_{n+\frac{1}{2}}^{\prime }\right)$$

因為涉及到位移算子$E$移一格還是移半格的問題，不然會出問題的，我覺得是這樣，但也可能不對。下面就以改成第一種方式來算。

對于代表性O(shè)DE
$$\frac{du}{dt}=u^{\prime }=\lambda u+a{e}^{\mu t}$$
它的精確解是：
$$u(nh)=c{\left(e^{\lambda h}\right)}^n+\frac{a{\left(e^{(\mu h)}\right)}^n}{\mu ?\lambda }$$

借助位移算子，將ODE代入到數(shù)值格式$MC$，

整理理一下可以得到：

$$P(E)u_n=Q(E)?a{e}^{\mu hn}$$

那么數(shù)值解實際上就是：

$$u_n=\sum _{k=1}^K{c}_k{\left({\sigma }_k\right)}^n+a{e}^{\mu hn}?\frac{Q\left(e^{\mu h}\right)}{P\left(e^{\mu h}\right)}$$

我們可以通過比較數(shù)值解和精確解（泰勒展開）來得到誤差。誤差項分為特解項（第一部分）的誤差，和非特解項（第二部分）的誤差。如果數(shù)值解第一部分的$\sigma$是復數(shù)的話，要分解計算模的誤差和復角的誤差。

具體計算

$MC$格式對于代表性O(shè)DE
$$\frac{du}{dt}=u^{\prime }=\lambda u+a{e}^{\mu t}$$
的離散格式為：

$$\begin{array}{rl}{\tilde{u}}_{n+1}?(1+\lambda h)u_n& =ah{e}^{\mu hn}\\ ?\frac{1}{2}(1+\lambda h){\tilde{u}}_{n+1}+u_{n+1}?\frac{1}{2}{u}_n& =\frac{1}{2}ah{e}^{\mu h(n+1)}\end{array}$$

寫成位移算子的形式：

$$\begin{array}{rl}E{\tilde{u}}_n?(1+\lambda h)u_n& =ah{e}^{\mu hn}\\ ?\frac{1}{2}(1+\lambda h)E{\tilde{u}}_n+E{u}_n?\frac{1}{2}{u}_n& =\frac{1}{2}Eah{e}^{\mu h(n)}\end{array}$$

整理成矩陣表達為：

$$\left[\begin{array}{cc}E& ?(1+\lambda h)\\ ?\frac{1}{2}(1+\lambda h)E& E?\frac{1}{2}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}\tilde{u}\\ u\end{array}\right]}_n=h\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}E\end{array}\right]a{e}^{\mu hn}(19)$$

根據(jù)克拉默法則，求$P(E)$和$Q(E)$，得到：

$$\begin{array}{rl}P(E)& =\det \left[\begin{array}{cc}E& ?(1+\lambda h)\\ ?\frac{1}{2}(1+\lambda h)E& E?\frac{1}{2}\end{array}\right]\\ =& E\left(E?1?\lambda h?\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2\right)\\ Q(E)& =\det \left[\begin{array}{cc}E& h\\ ?\frac{1}{2}(1+\lambda h)E& \frac{1}{2}hE\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{2}hE(E+1+\lambda h)\end{array}$$

特征多項式$P(\sigma )$為：

$$P(\sigma )=\sigma \left(\sigma ?1?\lambda h?\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2\right)=0$$

將其根以及$P$和$Q$代入到數(shù)值解的表達式：

$$u_n=\sum _{k=1}^K{c}_k{\left({\sigma }_k\right)}^n+a{e}^{\mu hn}?\frac{Q\left(e^{\mu h}\right)}{P\left(e^{\mu h}\right)}$$

得到數(shù)值解的一個表達：

$$\begin{array}{c}{u}_n=c_1{\left(1+\lambda h+\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2\right)}^n+\\ a{e}^{\mu hn}?\frac{\frac{1}{2}h\left(e^{\mu h}+1+\lambda h\right)}{e^{\mu h}?1?\lambda h?\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2}\end{array}$$

考慮這個代表問題的精確解：

$$u(nh)=c{\left(e^{\lambda h}\right)}^n+\frac{a{e}^{\mu nh}}{\mu ?\lambda }$$

下面來考慮全局誤差，$\lambda ,h$都為實數(shù)，假定最后的時間為$T$，時間步為$N$，即$T=Nh$。

那么全局transient的誤差可以表示為：
$$E{r}_{\lambda }\equiv e^{\lambda T}?{\left({\sigma }_1(\lambda h)\right)}^N=e^{\lambda Nh}?{\left(1+\lambda h+\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2\right)}^N$$

特解的全局誤差定義為第二部的比值和1的差值：

$$E_{\mathbf{\mu }}\equiv (\mu ?\lambda )\frac{Q\left(e^{\mu h}\right)}{P\left(e^{\mu h}\right)}?1=(\mu ?\lambda )\frac{\frac{1}{2}h\left(e^{\mu h}+1+\lambda h\right)}{e^{\mu h}?1?\lambda h?\frac{1}{2}{\lambda }^2{h}^2}?1$$

PS： 預測矯正格式，用兩個公式做誤差分析和通過替換，消掉中間變量，把兩個公式變成一個再做誤差分析，結(jié)果不盡相同。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MacCormack差分格式的全局误差分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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