CSI筆記【10】：陣列信號處理及MATLAB實現(xiàn)（第2版）閱讀隨筆（二）

• • Chapter3 波束形成
  • • • (1).波束形成的定義：
      • (2).波束形成的準(zhǔn)則：
      • (3).波束形成算法：
      • • ①.自適應(yīng)波束形成算法
        • ②.廣義旁瓣相消（GSC）的波束形成算法
        • ③.基于投影的波束形成算法
        • ④.基于斜投影的波束形成算法
        • ⑤.過載情況下的自適應(yīng)波束形成算法—近似最小方差法波束形成算法
        • ⑥.基于高階累積量的波束形成算法
        • ⑦.基于周期平穩(wěn)性的波束形成算法
        • ⑧.基于恒模的盲波束形成算法
        • ⑨.穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成
  • Chapter4 DoA估計
  • • • (1).Capon算法：
      • (2).MUSIC算法：
      • (3).最大似然算法：
      • • ①.確定性最大似然法：
        • ②.隨機(jī)性最大似然法：
      • (4).子空間擬合算法：
      • (5).ESPRIT算法：
  • Reference

Chapter3 波束形成

(1).波束形成的定義：

雖然陣列天線的方向圖是全方向的，但陣列的輸出經(jīng)過加權(quán)求和后，卻可以被調(diào)整到陣列接收的方向，即增益聚集在一個方向，相當(dāng)于形成了一個“波束”。這就是波束形成的物理意義所在。

波束形成技術(shù)的基本思想是：通過將各陣元輸出進(jìn)行加權(quán)求和，在一段時間內(nèi)將天線陣列波束“導(dǎo)向”到一個方向，對期望信號得到最大輸出功率的導(dǎo)向位置，即給出波達(dá)方向估計。

(2).波束形成的準(zhǔn)則：

由于傳統(tǒng)的常規(guī)波束形成法分辨率較低，這促使科研人員開始對高分辨波束形成技術(shù)進(jìn)行探索，自適應(yīng)波束形成算法很快就成了研究熱點。自適應(yīng)波束形成在某種最有準(zhǔn)則下通過自適應(yīng)算法來實現(xiàn)權(quán)集尋優(yōu)，它能適應(yīng)各種環(huán)境的變化，實時地將權(quán)集合調(diào)整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定準(zhǔn)則下綜合各輸入信息來計算最優(yōu)權(quán)值的數(shù)學(xué)方法。這些準(zhǔn)則中最重要、最常用的如下：

最大信噪比準(zhǔn)則 $(MSNR)$：使期望信號分量功率與噪聲分量功率之比最大，但是必須知道噪聲的統(tǒng)計量和期望信號的波達(dá)方向。

最大信干噪聲比準(zhǔn)則 $(MSINR)$：使期望信號功率與干擾功率及噪聲分量功率之和的比最大。

最小均方誤差準(zhǔn)則 $(MMSE)$：在非雷達(dá)應(yīng)用中，陣列協(xié)方差矩陣中通常都含有期望辛哈，基于此種情況提出了該準(zhǔn)則。使陣列輸出與牟岐王響應(yīng)的均方誤差最小，不需要知道期望信號的波達(dá)方向。

最大似然準(zhǔn)則 $(MLH)$：在對有用信號完全先驗未知的情況下，參考信號午發(fā)設(shè)置，因此，在干擾背景下，首先要取得對有用信號的最大似然估計。

線性約束最小方差準(zhǔn)則 $(LCMV)$：對有用信號形式和來向完全未知，在某種約束條件下使陣列輸出的方差最小。

可以證明，在理想情況下這幾種準(zhǔn)則得到的權(quán)是等價的，且可寫成通式 ${\omega }_{opt}=R_H^{?1}a({\theta }_d)$，通常為維納解。其中，$a({\theta }_d)$ 是期望信號的方向函數(shù)，亦成約束導(dǎo)向向量，$R_H$ 是不含期望信號的陣列協(xié)方差矩陣。

(3).波束形成算法：

①.自適應(yīng)波束形成算法

自適應(yīng)研究的重點一直是自適應(yīng)算法，經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法大致可分為閉環(huán)算法（或者反饋控制方法）和開環(huán)算法（也稱直線求解方法）。一般而言，閉環(huán)算法比開環(huán)算法要簡單，實現(xiàn)方便，但其收斂速度受到系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的限制。開環(huán)算法是一種直接求解方法，不存在收斂問題，可提供更快的暫態(tài)響應(yīng)性能，但同時也受到處理精度和陣列協(xié)方差矩陣求逆運算量的控制。

自適應(yīng)波束形成的最佳權(quán)向量（包括“最小均方誤差（MMSE）方法”和“最小二成（LS）方法”）；

權(quán)向量更新的自適應(yīng)算法；
自適應(yīng)陣列的最佳權(quán)向量的確定需要求解方程，一般來說，并不希望直接求解方程，其理由如下：
①.由于移動用戶環(huán)境是時變的，所以權(quán)向量的解必須能及時更新。
②.由于估計最佳解需要的數(shù)據(jù)是含噪聲的，所以希望使用一種更新技術(shù)，它能夠利用已求出的權(quán)向量求平滑最佳響應(yīng)的估計，以為=減小噪聲的影響。
因此，希望使用自適應(yīng)算法周期更新權(quán)向量。

基于變換域的自適應(yīng)波束形成算法；

②.廣義旁瓣相消（GSC）的波束形成算法

廣義旁瓣相消器是"LCMV"一種等效的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，"GSC"結(jié)構(gòu)將自適應(yīng)波束形成的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束的優(yōu)化問題，分為自適應(yīng)和非自適應(yīng)兩個支路，分別稱為輔助支路和主支路，要求期望信號只能從非自適應(yīng)的主支路通過，而自適應(yīng)的輔助支路僅含有干擾和噪聲分量。

③.基于投影的波束形成算法

$EBS$ 波束形成算法；

$EBS$ 改進(jìn)算法 $(IESB)$；

④.基于斜投影的波束形成算法

對接收信號進(jìn)行斜投影可有效消除干擾，進(jìn)而提高波束形成的穩(wěn)健性，而且該算法在少快拍數(shù)和相干信源情況下仍具有較好的波束形成性能。

⑤.過載情況下的自適應(yīng)波束形成算法—近似最小方差法波束形成算法

由于傳統(tǒng)的波束形成算法要求信源數(shù)小于或等于陣元數(shù)，如果信源數(shù)大于陣元數(shù)（過載的情況下），一般算法性能就會下降。而近似最小方差波束形成算法就可適用于過載情況。

⑥.基于高階累積量的波束形成算法

高階積累量包含豐富的信息，并且能有效抑制高斯噪聲、提取有用的非高斯信號。基于高階累積量的盲波束形成算法首先利用高階累積量能有效提取非高斯信號地特性，估計出期望信號的方向向量，而后在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行"LCMV"自適應(yīng)最佳波束形成，該算法對陣列誤差具有穩(wěn)健性。

⑦.基于周期平穩(wěn)性的波束形成算法

高階積累量方法雖然能夠有效地提取非高斯信號，抑制高斯干擾信號，但是當(dāng)干擾也是非高斯信號的時候，高階積累量方法將難以奏效，這是高階積累量盲波束形成算法本身的局限性所在。實際上，大多數(shù)人為設(shè)計的信號都是周期平穩(wěn)信號，"CAB"類算法可以有效地提取期望信號，抑制相鄰信號干擾。"CAB"類盲波束形成算法首先利用期望信號的周期平穩(wěn)特性估計出相應(yīng)的期望信號陣列方向向量，進(jìn)而利用"MVDR"算法求解最佳權(quán)向量。期望信號與干擾信號不相關(guān)，這是"CAB"類算法有效性的基礎(chǔ)。

$CAB$ 算法；

$C?CAB$ 算法；
基本的"CAB"算法實際上僅估計了期望信號方向向量，可以直接用來進(jìn)行空域匹配濾波處理，但為了達(dá)到最佳陣處理，還需要對干擾進(jìn)行有效已知。"C-CAB"算法是在"CAB"算法的基礎(chǔ)上采用"MVDR"算法來已知干擾的。

$R?CAB$ 算法；
在 "C-CAB"算法的基礎(chǔ)上采用傳統(tǒng)的對角線加載技術(shù)來改善與提高算法的穩(wěn)健性，就是所謂的 "R-CAB"算法。

⑧.基于恒模的盲波束形成算法

隨機(jī)梯度恒模算法；
恒模信號在經(jīng)歷了多徑衰落、加性干擾或其它不利因素時，會產(chǎn)生幅度擾動破壞信號的恒模特性，因此可以利用恒模陣波束形成器來最大程度地恢復(fù)恒模信號。

最小二乘恒模算法 $(LS?CMA)$；
最小二乘恒模算法使用了非線性最小二乘（高斯法）的推廣來設(shè)計恒模算法。

⑨.穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

自適應(yīng)波束形成器對于模型誤差具有敏感性。為了降低自適應(yīng)波束形成器對模型誤差的敏感程度，眾多研究者在增強(qiáng)自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性方面做了許多工作。在模型失配條件下，仍能自適應(yīng)地調(diào)整波束形成器權(quán)向量以保證良好輸出性能的一類波束形成器稱為穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器。對穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的要求是，在可容許的模型失配情況下，穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的性能不應(yīng)退化到傳統(tǒng)波束形成器的性能之下。

對角加載方法；
在眾多穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成方法中，對角加載是一種最常見的方法。此方法通過對 $Capon$ 最小方差問題進(jìn)行正則化處理來實現(xiàn)，即通過對優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)加上一個二次型懲罰項來實現(xiàn)。

基于特征空間的方法；
基于特征空間的自適應(yīng)波束形成算法，對于由任何原因?qū)е碌膶?dǎo)向向量不確定性都具有很好的穩(wěn)健性。此方法的關(guān)鍵是使用期望信號導(dǎo)向向量在信號—干擾子空間上的投影，而不是直接使用期望信號的導(dǎo)向向量。

貝葉斯方法；
貝葉斯方法能在陣列接收信號和波達(dá)方向的先驗信息之間實現(xiàn)一種平衡。在低 $SNR$ 條件下，波束形成器更依賴于波達(dá)方向的先驗信息，而在高 $SNR$ 條件下，波束形成器更依賴于陣列的接收信號。

基于最壞情況性能優(yōu)化的方法；
改方法的設(shè)計目標(biāo)是，在期望信號所有可能的導(dǎo)向向量都能無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器地基礎(chǔ)上，實現(xiàn)干擾—噪聲地輸出功率最小化。

基于概率約束的方法；
在實際應(yīng)用中，最壞情況發(fā)生的概率是非常小的。因此，基于最壞情況性能優(yōu)化方法設(shè)計的自適應(yīng)波束形成器是非常保守的。為了使波束形成器的設(shè)計更為靈活，$Vorobyov$ 等人提出了一種基于概率約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，其主要思想是僅讓那些發(fā)生概率充分大的導(dǎo)向向量無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器，而不用去滿足所有可能發(fā)生的導(dǎo)向向量。

Chapter4 DoA估計

陣列信號處理的另一個基本問題是空間信號"DoA"估計，也就是雷達(dá)、聲納等許多領(lǐng)域的重要任務(wù)之一。利用陣列天線對"DoA"估計的方法主要有"ARMA"譜分析、最大似然法、熵譜分析法和特征分解法等。

(1).Capon算法：

考慮一個由 $M$ 個傳感器構(gòu)成的陣列被 $K$ 個窄帶信號源鼓勵。那么 $(M\times 1)$ 維傳感器陣列輸出向量 $x(t)$ 可用以下等式表示：
$$x(t)=As(t)+e(t)$$
其中，$s(t)$ 是在一定參考點測量的 $K\times 1$ 維源信號向量，$e(t)$ 是加性噪聲，并且
$$A=[a({\theta }_1),???,a({\theta }_K)]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}(1)$$
在式 $(1)$ 中，${\theta }_K$ 是"DoA"估計值，$a({\theta }_K)$ 為方向向量。假設(shè) $M>K$ 并且矩陣 $A$ 擁有滿秩 $K$，另外假設(shè) $s(t)$ 和 $e(t)$ 為獨立零均值高斯隨機(jī)分布，并且滿足
$$\begin{gathered} E\{s(t)s^H(s)\}=P{\delta }_{t,s} \\ E\{s(t)s^T(s)\}=0 \\ E\{e(t)e^H(s)\}={\sigma }^{2}I{\delta }_{t,s} \\ E\{e(t)e^H(s)\}=0 \\ (2) \end{gathered}$$
其中，${\delta }_{t,s}$ 表示沖激函數(shù)（當(dāng) $t=s$ 時，其值為 $1$；當(dāng) $t=s$ 時，其值為 $0$）。

"Capon"算法的"DoA"估計值 ${\theta }_K$ 由以下函數(shù)取極小值時的 ${\hat{\theta }}_K$ 決定：
$$f(\theta )=a^H(\theta ){\hat{R}}^{?1}a(\theta )(3)$$
其中，$\theta$ 表示 "DoA" 變量，$\hat{R}$ 是樣本的協(xié)方差矩陣：
$$\hat{R}=\frac{1}{N}\sum _{t=1}^{N}x(t)x^H(t)$$

• $step1.$ 利用式 $\hat{R}=\frac{1}{N}{\sum }_{t=1}^{N}x(t)x^H(t)$ 計算接收信號協(xié)方差矩陣。
• $step2.$ 通過對 $1/[a^H(\theta ){\hat{R}}^{?1}a(\theta )]$ 進(jìn)行譜峰搜索，找到峰值，即得到 $DoA$ 估計。這里需要注意的是，在式 $(2)$ 的假設(shè)下，陣列輸出的理論協(xié)方差矩陣可以表示為：
  $$R?E\{x(t)x^H(t)\}=AP{A}^H+{\sigma }^{2}I$$
  "Capon"算法和“線性預(yù)測（Linear Prediction，LP）”算法有一定的聯(lián)系，這種聯(lián)系對于下面的內(nèi)容有重要意義，現(xiàn)簡要描述。假設(shè) ${\hat{\beta }}_m$ 表示以第 $m$ 個傳感器作為參考應(yīng)用“LP算法”從傳感器陣中獲得的向量數(shù)據(jù) $({\hat{\beta }}_{m,n}=1)$，并且令 ${\hat{d}}_m$ 表示模型樣本的剩余方差。那么式 $(3)$ 也可以表示為
  $$f(\theta )=\sum _{m=1}^M\frac{|{\hat{\beta }}_m^{H}a(\theta ){|}^2}{{\hat{d}}_m}$$

"Capon"估計比"LP"估計產(chǎn)生的統(tǒng)計誤差要小。然而，和 $M$ 階 $LP$ 估計相比，"Capon"估計有低分辨率。

(2).MUSIC算法：

詳見：CSI筆記【8】：基于MUSIC Algorithm的DoA/AoA估計以及MATLAB實現(xiàn).

(3).最大似然算法：

在信號處理中，最著名和最常用的建模方法是最大似然法。根據(jù)源信號（輸入序列）模型假設(shè)的不同，基于最大似然的波達(dá)方向估計方法分為"確定性最大似然（Deterministic ML, DML）"和"隨機(jī)性最大似然（Stochastic ML, SML）"法兩大類型。隨機(jī)性最大似然法也稱"統(tǒng)計最大似然法"。

①.確定性最大似然法：

源信號或輸入序列 $s(k)$ 假定為確定性信號，待估計的未知參數(shù)是輸入序列和信道向量，即 $\theta =\{h,\{s(k)\}\}$，雖然可能只對估計信道向量 $h$ 感興趣。在這種情況下，未知參數(shù)的維數(shù)隨觀測數(shù)據(jù)量的增多而增大。

②.隨機(jī)性最大似然法：

輸入序列 $\{s(k)\}$ 假設(shè)為一具有已知分布的隨機(jī)過程（通常假設(shè)為高斯隨機(jī)過程），而且唯一待估計的未知參數(shù)就是信道向量即 $\theta =h$。在這種情況下，未知參數(shù)的維數(shù)相對于觀測數(shù)據(jù)量是固定的。

(4).子空間擬合算法：

加權(quán)子空間你和算法，它與最大似然法有很多相通之處，具體表現(xiàn)為：最大似然法相當(dāng)于數(shù)據(jù)（接收數(shù)據(jù)與實際信號數(shù)據(jù)）之間的你和，而加權(quán)子空間擬合則相當(dāng)于子空間之間的擬合；兩者均需要通過多維搜索實現(xiàn)算法的求解，所以很多用于實現(xiàn)"ML"算法的求解過程可以直接應(yīng)用到加權(quán)子空間擬合算法中。

子空間擬合問題包含兩部，即信號子空間的擬合和噪聲子空間的擬合。

(5).ESPRIT算法：

ESPRIT is short for Estimating Signal Parameter Variational Invariance Techniques (基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計)。

Reference

[1] 陣列信號處理及MATLAB實現(xiàn)（第2版）張小飛 李建峰 徐大專 等 著.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的CSI笔记【10】：阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）阅读随笔(二)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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