感覺挺有意思的東西，感覺果殼上的一篇文章解釋的超級棒;

原文鏈接：http://www.guokr.com/article/437662/

美劇《基本演繹法》（也就是美版“福爾摩斯”）第 2 季第 2 集中，兩位研究 NP 問題的數(shù)學(xué)家被謀殺了，兇手是同行，因為被害者即將證明“P=NP 問題”，她為獨吞成果而下了毒手。然而兇手的動機，并不是千禧年大獎難題那100萬美元的獎金——解決了 P=NP 問題，就能夠破譯世界上所有的密碼系統(tǒng)，這里面的利益比100萬美元多多了。

劇中只用了一句話來介紹 P=NP 的意義：“能用電腦快速驗證一個解的問題，也能夠用電腦快速地求出解”。這句過于簡單的話可能讓大家一頭霧水，今天我們就來講一講 P vs.?NP。

什么是P和NP？

《基本演繹法》S02E02 截圖。

計算機科學(xué)的一個主要研究方向是提高各種算法的速度。尤其在當(dāng)前火熱的“大數(shù)據(jù)”概念下，算法速度更顯重要。很容易理解，處理的數(shù)據(jù)越大，計算的耗時就越多。對于一個算法，人們能夠分析出運算時間與數(shù)據(jù)量之間的大致函數(shù)關(guān)系，這個關(guān)系被稱為時間復(fù)雜度，它定量描述了該算法的運行時間。

假設(shè)有 n 個數(shù)要排序。一個初級的冒泡排序算法所需時間可能與 n² 成正比，快一點的算法所需時間與 nlog（n） 成正比。在某些條件下，桶排序算法所需時間甚至只和 n 成正比。最不實用的算法就是輸入的數(shù)字隨機排列，直到出現(xiàn)完全有序的情況為止……記前三個算法的時間復(fù)雜度分別記為 O(n²)、O(nlogn) 和 O(n)，最后的“猴子排序”(Bogosort)算法平均時間復(fù)雜度則達到了 O(n*n!)。

在上面的例子中，前三種算法的復(fù)雜度是 n 的多項式函數(shù)；最后一種算法的復(fù)雜度是 n 的階乘，根據(jù)斯特林公式，n! 相當(dāng)于指數(shù)級別的增長。當(dāng) n 特別小時，多項式級的算法已經(jīng)快過指數(shù)級的算法。當(dāng) n 非常大時，人類根本看不到指數(shù)級復(fù)雜度算法結(jié)束的那天。自然的，大家會對多項式級別的算法抱有好感，希望對每一個問題都能找到多項式級別的算法。問題是——每個問題都能找到想要的多項式級別的算法嗎？

在一個由問題構(gòu)成的集合中，如果每個問題都存在多項式級復(fù)雜度的算法，這個集合就是 P 類問題（Polynomial）。這意味著，即使面對大規(guī)模數(shù)據(jù)，人們也能相對容易地得到一個解，比如將一組數(shù)排序。

“NP”的全稱為“Nondeterministic Polynomial”，而不是“Non-Polynomial”。NP 類問題指的是，能在多項式時間內(nèi)檢驗一個解是否正確的問題。比如我的機器上存有一個密碼文件，于是就能在多項式時間內(nèi)驗證另一個字符串文件是否等于這個密碼，所以“破譯密碼”是一個 NP 類問題。NP 類問題也等價為能在多項式時間內(nèi)猜出一個解的問題。這里的“猜”指的是如果有解，那每次都能在很多種可能的選擇中運氣極佳地選擇正確的一步。

不妨舉個例子：給出 n 個城市和兩兩之間的距離，求找到一個行走方案，使得到達每個城市一次的總路程最短。我們可以這樣來“猜測”它的解：先求一個總路程不超過 100 的方案，假設(shè)我們可以依靠極好的運氣“猜出”一個行走路線，使得總長度確實不超過 100，那么我們只需要每次猜一條路一共猜 n 次。接下來我們再找總長度不超過 50 的方案，找不到就將閾值提高到75…… 假設(shè)最后找到了總長度為 90 的方案，而找不到總長度小于 90 的方案。我們最終便在多項式時間內(nèi)“猜”到了這個旅行商問題的解是一個長度為 90 的路線。它是一個 NP 類的問題。

也就是說，NP 問題能在多項式時間內(nèi)“解決”，只不過需要好運氣。顯然，P 類問題肯定屬于 NP 類問題。所謂“P=NP”，就是問——是不是所有的 NP 問題，都能找到多項式時間的確定性算法？

P會不會等于NP？

《基本演繹法》S02E02 截圖。

這個問題目前還沒有定論，當(dāng)下學(xué)術(shù)界的大多數(shù)意見是 P≠NP。一個主要原因是，這么多年過去了，人們?nèi)匀粵]有找到解決上千個 NPC 問題中任何一個的多項式復(fù)雜度的算法。等等，NPC 又是什么？

在與數(shù)不盡的問題搏斗的過程中，人們有時候會發(fā)現(xiàn)，解決問題 A 的算法可以同時用來解決問題 B。例如問題 A 是對學(xué)生的姓名與所屬班級同時排序，問題 B 是對人們按照姓名做排序。這時候，我們只需要讓班級全都相同，便能照搬問題 A 的算法來解決問題 B。這種情況下，數(shù)學(xué)家就說，問題 B 能歸約為問題 A。

人們發(fā)現(xiàn)，不同的 NP 問題之間也會出現(xiàn)可歸約的關(guān)系，甚至存在這么一類（不只是一個）問題，使得任何其它的 NP 問題都能歸約到它們上。也就是說，能夠解決它們的算法就能夠解決所有其它的 NP 問題。這一類問題就是 NPC 問題。這樣的問題人們已經(jīng)找到了幾千個，如果我們給其中任何一個找到了多項式級別的算法，就相當(dāng)于證明了 P=NP。但是人們至今沒有成功找到，所以大家對 P=NP 的信心大打折扣。

解密無遮攔？

《基本演繹法》S02E02 截圖。

雖然前景很不樂觀，但是不妨來假想一下，如果 P=NP，《基本演繹法》中所說的“破解密碼只是小菜一碟”就會成真了嗎？

前面說過，證明 P=NP 的一個主要方法就是，給某一個 NPC 問題找到一個快速算法。但是，也不排除有人給出一個“存在性”而非“構(gòu)造性”的證明，只是告訴大家存在符合要求的算法，但沒法詳細描述出來。如果 P=NP 被人以這種方式證明出來了，我們也沒法依葫蘆畫瓢地把這個神奇的算法在電腦上寫出來，所以對破解密碼仍然沒有幫助。

退一步說，假如有人構(gòu)造出可以運用的多項式算法，以此證明了這個問題。這個算法恐怕也很復(fù)雜（畢竟這么難找），它的多項式級別的復(fù)雜度也可能會非常慢。假設(shè)這個算法的復(fù)雜度達到了 O(n¹⁰)，那我們依然面臨著不小的麻煩。即使 n=100，運算時間也會增長到非常巨大的地步。

再退一步，假設(shè)人類的運氣好到 P=NP 是真的，并且找到了復(fù)雜度不超過 O(n³) 的算法。如果到了這一步，我們就會有一個算法，能夠很快算出某個帳號的密碼。《基本演繹法》里面所想象的可能就要成真了，所有的加密系統(tǒng)都會失去效果——應(yīng)該說，所有會把密碼變成數(shù)字信息的系統(tǒng)都會失去效果，因為這個數(shù)字串很容易被“金鑰匙”計算出來。

除此之外，我們需要擔(dān)心或期許的事情還有很多：

• 一大批耳熟能詳?shù)挠螒?#xff0c;如掃雷、俄羅斯方塊、超級瑪麗等，人們將為它們編寫出高效的AI，使得電腦玩游戲的水平無人能及。
• 整數(shù)規(guī)劃、旅行商問題等許多運籌學(xué)中的難題會被高效地解決，這個方向的研究將提升到前所未有的高度。
• 蛋白質(zhì)的折疊問題也是一個 NPC 問題，新的算法無疑是生物與醫(yī)學(xué)界的一個福音。

Wikipedia上有一個關(guān)于NPC問題的列表。如果我們手握解決NPC問題的金鑰匙，它們?nèi)寄鼙伙w快地解決。

除此之外，P=NP 最令人震撼的成果之一可能是下面這段話：

……(P=NP)會將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽層嬎銠C對任何問題尋找擁有合理長度的證明的學(xué)科，因為我們能夠在多項式時間內(nèi)驗證一個證明是否正確。這些問題也正好包括千禧年大獎的那些問題。

它出自 NP 完全理論奠基人史提芬·古克的筆下。上面這些只言片語的描述，已經(jīng)展現(xiàn)出了 P=NP情況下，世界將會出現(xiàn)怎樣一副天翻地覆的變化。也正是因為這樣的結(jié)果實在難以置信，人們普遍傾向于相信 P≠NP。我也希望 P≠NP ，這樣至少我的網(wǎng)銀相對來說還是挺安全的。

來自wiki的花絮；
話說Hubert Chen的玩笑我想了半天=， =

花絮[編輯]

普林斯頓大學(xué)計算機系樓將二進制代碼表述的“P=NP?”問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示“P=NP！”。^[2]

康奈爾大學(xué)的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等于NP的證明：^[3]

反證法。設(shè)P = NP。令y為一個P = NP的證明。證明y可以用一個合格的計算機科學(xué)家在多項式時間內(nèi)驗證，我們認定這樣的科學(xué)家的存在性為真。但是，因為P = NP，該證明y可以在多項式時間內(nèi)由這樣的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)。但是這樣的發(fā)現(xiàn)還沒有發(fā)生（雖然這樣的科學(xué)家試圖發(fā)現(xiàn)這樣的一個證明），我們得到了矛盾。

以下是一個經(jīng)典證明：掃雷是NP完全問題

原文鏈接：
http://www.matrix67.com/blog/archives/544


曾經(jīng)看到過自動掃雷軟件，當(dāng)時我就在想，掃雷游戲是否有什么牛B的多項式算法。最近才看到，掃雷問題居然是一個NP完全問題，并且這個定理有一個簡單、直觀而又神奇的證明。在這里和大家分享一下整個證明過程。
????首先，掃雷一定是NP問題，它顯然可以在多項式的時間里驗證一個解。接下來，我們需要把一個已知的NP完全問題歸約到掃雷問題上去。我們將給出一種把邏輯電路問題歸約到掃雷問題的方法，這樣的話我們就可以利用掃雷問題解決邏輯電路問題，從而說明邏輯電路問題不比掃雷難。我們將把邏輯電路問題轉(zhuǎn)換成一種對應(yīng)的掃雷布局，就像畫畫一樣把邏輯電路畫在掃雷的棋盤上。如果你還不知道什么叫NP完全問題，什么叫邏輯電路問題，你可以看一看我的這篇文章。

???
????上圖就是一條帶有Boolean值的線路。注意到x和x’中有且僅有一個有雷。如果（沿線路方向）前一個格子有雷，我們就說這條線路狀態(tài)為True；反之如果后一個格子有雷，那么這條線路所傳遞的Boolean值就是False。每條線路的起始端都如下圖左所示，其中符號*表示該格里必然有雷，x和x’中同樣是有且僅有一個有雷，但到底是哪一個里面有雷誰也說不清楚。線路是可以拐彎的，如下圖右所示，這可以保證轉(zhuǎn)角后Boolean值相同。
???

?
????我們需要構(gòu)造一些特殊的掃雷布局來解釋NOT門、AND門和OR門。構(gòu)造NOT門最為簡單，下圖就是一個NOT門，注意經(jīng)過了中間的NOT門后，x和x’的位置互換，True變成了False，False也將變成True。
???

?
????AND門和OR門的構(gòu)造就比較復(fù)雜了。下面是AND門的構(gòu)造，U和V是輸入的兩條線路，T是輸出的線路。為了說明這確實是一個AND門，我們將說明：在下面的構(gòu)造中，如果線路T是True（即最右邊那個格子t有雷）的話，那么格子u和v必須都有雷才行。如果最右邊的格子t有雷，我們可以很快推斷出，圖中所有其它的t格都是有雷的，所有t’都是無雷的。觀察a3正上方的那個”3″，我們立即看出a2,a3都必須有雷，于是繼續(xù)推得a1無雷，s有雷。類似地，我們可以知道r也是有雷的。在中間一行的*4t處，4的上下左右都已經(jīng)有雷了，那么u’和v’必然無雷，于是繼續(xù)往左推得u和v都有雷。
???

?
????OR門的構(gòu)造比較類似，如下圖。如果r無雷的話，可知a2,a3有雷，a1無雷，s’有雷，進而s無雷。觀察”6″可知u’和v’都有雷，于是u和v均無雷。
???

?
????不斷套用這幾個邏輯門的構(gòu)造圖來連接電路，直到輸出線路只剩下唯一的一條。把最后的輸出線路從x或者x’處截斷（相當(dāng)于把最終輸出的Boolean值定下來）后，整個布局就成了一個“掃雷版SAT問題”了。
????最后還有一個容易忽略的問題：要是線路交叉了該咋辦？下圖的構(gòu)造可以保證線路交叉后仍不改變原線路所帶的Boolean值。至此，我們已經(jīng)可以把任一邏輯電路布局到掃雷棋盤上，解決這個掃雷問題就相當(dāng)于要解一個邏輯電路問題，因此掃雷問題至少和邏輯電路問題一樣難。
???

//話說華為的那題應(yīng)該是NPC問題，我看了下題目就卒了；

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P/NP问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。