文章目錄

• 1 集合
• • 1.1 集合的表示方法
  • 1. 2 常用的集合
  • 1.3 元素與子集
  • 1.4 集合運算
• 2 簇
• 3 向量
• 4 矩陣

1 集合

1.1 集合的表示方法

類型符號表示舉例文字說明

枚舉法	1) $\mathbf{A}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$是阿拉伯數字的集合 $2)\mathbf{N}=\{0,1,2,\dots ,\}$是自然數的集合 $3)\mathbf{\Omega }=\{\text{a},\text{b},\dots ,\text{z}\}$是英文字母表	1) \mathbf{A} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2) \mathbf{N} = {0, 1, 2, \dots,} 3) mathbf{\Omega} = {\textrm{a}, \textrm{b}, \dots, \textrm{z}}	易錯的三個坑： 1) 逗號前無空格，逗號后有空格； 2) 集合要用加粗； 3) 集合用{ }，且元素無序
枚舉的簡記法	1) 兩個整數間的枚舉集合： $[1..10]=\{1,2,\dots ,10\}$ 2) 區間：（3, 5）[3,5) … 3) $\mathbf{X}=\{x_i{\}}_{i=1}^n=\{x_1,\dots ,x_n\}$	1) [1. .10] = {1, 2, \dots, 10} 2)（3, 5）[3,5) 3) \mathbf{X} = { x_i}_{i=1}^n = {x_1, \dots, x_n}
謂詞法	奇數的集合： $\mathbf{O}=\{x|x\in \mathbf{N},x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=1\}$ 或 $\mathbf{O}=\{x\in \mathbf{N}|x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=1\}$	1) mathbf{O} = { x \vert x \in \mathbf{N}, x \mod 2 = 1} 2) \mathbf{O} = { x \in \mathbf{N} \vert x \mod 2 = 1}	第2種寫法，通常把基本的限制寫在左邊，但是只能寫一個條件

1. 2 常用的集合

類型符號文字說明

實數	$\mathbb{R}(常用，推薦）$ $\mathcal{R}$（可以接受）	\mathbb{R} \mathcal{R}	$\mathbb{R}$是實數專用，不能另做他用
空集	$?$	\emptyset	$?$（\phi）是錯誤的表達
全集	$\mathbf{U}$	\mathbf{U}

1.3 元素與子集

類型符號文字說明

元素	$x\in \mathbf{X}$	x \in \mathbf{X}	元素$x$與集合$\mathbf{X}$的關系
子集	$\mathbf{A}?\mathbf{B}$	\mathbf{A} \subset \mathbf{B}	集合A與集合B的關系
子集	$\mathbf{A}?\mathbf{B}$	\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}	集合A與集合B的關系

1.4 集合運算

運算類型符號文字說明

基	$|\mathbf{X}|$	\vert \mathbf{X} \vert	集合$\mathbf{X}$中元素的個數 $|?|=0$
并	1) $\mathbf{X}\cup \mathbf{Y}$ 2) ${?}_{i=1}^n{\mathbf{X}}_i$	1) \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} 2) \bigcup_{i=1}^n \mathbf{X}_i	1) 兩個集合并 2) n個集合并
交	1) $\mathbf{X}\cap \mathbf{Y}$ 2) ${?}_{i=1}^n{\mathbf{X}}_i$	1) \mathbf{X} \cap \mathbf{Y} 2) \bigcap_{i=1}^n \mathbf{X}_i	1) 兩個集合并交 2) n個集合交
差	$\mathbf{X}?\mathbf{Y}$	\mathbf{X} \setminus \mathbf{Y}	兩個集合差
補	$\overline{\mathbf{X}}=\mathbf{U}?\mathbf{X}$	\overline{\mathbf{X}} = \mathbf{U} \setminus \mathbf{X}	全集$\mathbf{U}$ 有人用$?\mathbf{X}$ 可以接受，但不建議
冪集	$2^{\mathbf{A}}=\{\mathbf{B}|\mathbf{B}?\mathbf{A}\}$	2^\mathbf{A} = { \mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}}	例如：$\mathbf{A}=\{0,1,2\}$，則： 1）$2^{\mathbf{A}}=\{?,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}$ 2） $|2^{\mathbf{A}}|=2^{|\mathbf{A}}|=2^3=8$ 3）$\mathbf{B}?\mathbf{A}$ 與 $\mathbf{B}\in 2^{\mathbf{A}}$等價
笛卡爾積	$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=\{(a,b)|a\in \mathbf{A},b\in \mathbf{B}\}$	\mathbf{A} \times \mathbf{B} = {(a, b) \vert a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B}}	$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$各出一個元素，組成一個新的元素對 $(a,b)=(b,a)$，所以 $\mathbf{A}\times \mathbf{B}=\mathbf{B}\times \mathbf{A}$ 對于有窮集合： $|\mathbf{A}\times \mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\times |\mathbf{B}|$

2 簇

集合的集合稱為簇，一般用\mathcal符號表示

運算類型符號文字說明

簇	$\mathcal{B}=\{{\mathbf{B}}_1,\dots ,{\mathbf{B}}_N\}$, where ${\mathbf{B}}_i=\{{\mathbf{x}}_{i1},\dots ,{\mathbf{x}}_{ij}\}$	\mathcal{B} = { \mathbf{B}_1, \dots, \mathbf{B}N}, \mathbf{B}i={ \mathbf{x}{i1}, \dots, \mathbf{x}{ij}}	即${\mathbf{x}}_{ij}$是${\mathbf{B}}_i$中的一個向量，${\mathbf{B}}_i$是向量的集合，而$\mathcal{B}$是${\mathbf{B}}_i$的集合
簇的并運算	$\cup \mathcal{B}=\cup \{{\mathbf{B}}_1,\dots ,{\mathbf{B}}_N\}={?}_{i=1}^N\{B_i\}={\mathbf{B}}_1\cup {\mathbf{B}}_2\cup ?\cup {\mathbf{B}}_N$	\cup \mathcal{B} =\cup { \mathbf{B}_1, \dots, \mathbf{B}N} =\bigcup{i=1}^N{B_i} = \mathbf{B}_1\cup \mathbf{B}_2\cup\dots\cup \mathbf{B}_N	即進行“解簇”運算，讓所有集合并成了一個集合。

例1：

上式描述，${\mathbf{x}}_{ij}$屬于標簽為正的包${\mathbf{B}}_i$, 但是謂詞法（\vert）標準用法是用于集合。
但如果這里加上括號，即：${\mathbf{x}}_{ij}\in \{{\mathbf{B}}_i|y_i=+1\}$，那么一個向量${\mathbf{x}}_{ij}$屬于一個簇，則是不對的。
解決：
${\mathbf{x}}_{ij}\in \cup \{{\mathbf{B}}_i|y_i=+1\}$，這樣就可以啦。

例2：

上式想表示${\mathbf{X}}_1^{?}$是一個${\mathbf{B}}_i$的一個并集，并且${\mathbf{B}}_i$是標簽為-1的包，且屬于$\mathcal{B}$。
但是，\vert這種表示，都是集合的謂詞描述方法，那么，上式可以改寫為：
${\mathbf{X}}_1^{?}=?\{{\mathbf{B}}_i\in \mathcal{B}|y_i=?1\}$

3 向量

表示向量用（ ）或 [ ] ;
向量通常用小寫加粗符號，如： \mathbf{x} \bm{x} \boldsymbol{x}

類型符號表示文字說明

列向量	1) $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ 2) $\mathbf{x}=(x_1;x_2;\dots ;x_n)$, $x_i\in \mathbb{R}$	1) \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m 2) \mathbf{x} = ( x_1; x_2; \dots; x_n)	m*1維空間的一個點
行向量	1) $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{1?m}$ 2) $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, $x_i\in \mathbb{R}$	1) \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{1*m} 2) \mathbf{x} = ( x_1, x_2, \dots, x_n)	1*m維空間的一個點
轉置	$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,則 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}=(x_1;x_2;\dots ;x_n)$	\mathbf{x}^{\mathrm{T}} = ( x_1; x_2; \dots; x_n)
內積（點積）	$\mathbf{a}?\mathbf{b}=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$	\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}\mathbf{b}^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^n a_ib_i	機器學習里面，常用于求向量的加權和： $\mathbf{x}?\mathbf{w}=\mathbf{x}{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}={\sum }_{i=1}^n{x}_i{w}_i$

4 矩陣

類型符號表示文字說明

m行n列的矩陣	1) $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 2) $\mathbf{X}=[x_{ij}{]}_{m\times n}$, $x_{ij}\in \mathbb{R}$	1) \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n} 2) \mathbf{X} = [x_{ij}]_{m \times n}	$m\times n$ 維空間的一個點
機器學習的特殊表示	$\mathbf{X}=\{{\mathbf{x}}_i{\}}_{i=1}^m=\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_m\}.$ 其中，${\mathbf{x}}_i=(x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{in})$		描述的是，$\mathbf{X}$包括m個實例，每個示例用n個屬性表示。$\mathbf{X}$是集合，后者是向量。 好處：方便表示實例和特征值的關系 缺點：$\mathbf{X}$不能參與矩陣運算 若實在需要，只能適當犧牲嚴謹性，做一些說明，如： in the following context, $\mathbf{X} is alos treated as $[{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_n{]}^{\mathrm{T}}$ to surpport matrix operations.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学表达式基础——2 集合、向量与矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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