用牛頓法求算術平方根

要求

不用數學庫函數sqrt()函數求一個數的平方根

解法

采用牛頓迭代法也就是牛頓法求解

通過迭代公式來求得f(x)=0的解

$$x_{n+1}=x_n?\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

這個公式源于泰勒展開式
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x?x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x?x_0{)}^2+?+\frac{1}{n!}{f}^n(x_0)(x?x_0{)}^n$$
如果只考慮前兩項的話，那么就可以得到一個近似的等式
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x?x_0)$$
令f(x)=0，對x求解，就可以得到一個近似解
$$x=x_0?\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$$
得到迭代公式后，就可以進行求解了

求一個數m的算術平方根，也就是對 $x^2?m=0$ 求解

將f(x)和f’(x)=2x代入上面的迭代公式，可以得到
$$x_{n+1}=x_n?\frac{x_n^2?m}{2x_n}=\frac{x_n}{2}?\frac{m}{2x_n}$$

python實現

def newton(m):x0=m/2 #初始化初始點，任意點即可x1=x0/2+m/(x0*2) while abs(x1-x0)>1e-5: #精確到小數點后四位，近似解十分接近的時候停止迭代x0=x1x1 = x0 / 2 + m / (x0 * 2)return x1 print('%.4f'%newton(2))

運行結果

1.4142

總結

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