幾何布朗運動（GBM）是模擬大多數(shù)依賴某種形式的路徑依賴的金融工具的標準主力。

最近我們被要求撰寫關(guān)于GBM的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。雖然GBM基于有根據(jù)的理論，但人們永遠不應(yīng)忘記它的最初目的 - 粒子運動的建模遵循嚴格的正態(tài)分布脈沖。基本公式由下式給出：

標準維納過程代表創(chuàng)新。在對氣體進行建模時效果很好，在財務(wù)建模方面存在一些嚴重的缺陷。問題是維納過程有兩個非常嚴格的條件：

a）創(chuàng)新通常是分布式的，平均零和方差為tb）創(chuàng)新是獨立的

現(xiàn)在，至少有一些金融市場數(shù)據(jù)暴露的人都知道股票回報不滿足第一個條件，有時甚至不滿足第二個條件。普遍的共識是，股票收益是扭曲的，是有效的，并且尾巴不均勻。雖然股票收益趨于收斂于正常分布且頻率遞減（即月收益率比日收益率更正常），但大多數(shù)學(xué)者會同意t分布或Cauchy分布更適合收益。

然而，在實踐中，大多數(shù)人在模擬布朗運動時只是采用正態(tài)分布，并接受由此產(chǎn)生的資產(chǎn)價格不是100％準確。另一方面，我不滿足于這種半解決方案，我將在下面的例子中展示盲目信任GBM的成本是多少。我提出了一種偽布朗方法，其中隨機創(chuàng)新是從經(jīng)驗回報的核密度估計而不是假設(shè)的正態(tài)分布中采樣的。這種方法的好處在于它產(chǎn)生的結(jié)果更接近于過去觀察到的結(jié)果而沒有完全復(fù)制過去（這將是直接從過去的創(chuàng)新中抽樣隨機創(chuàng)新的結(jié)果）。

介紹性例子

在我們進入有趣的部分之前，我們展示了市場上浪費了多少錢，我們從一個簡單的例子開始。我們需要加載三個包及其依賴項（您可以在頁面底部下載此帖子的R-）

require(quantmod)

對于我們的第一個例子，我們將嘗試模擬AT＆T的回報。以下命令允許我們從雅虎財經(jīng)下載價格信息并計算每月日志回報為了確定我在開始時所做的觀點，我們將比較回報分布與正態(tài)分布。

att <- getSymbols plot rug(jitter(attr))

即使沒有藝術(shù)史碩士學(xué)位，大多數(shù)人也會同意這兩行不匹配。對于那些不依賴于這種視覺方法的人來說，可靠的Kolmogorov-Smirnov測試提供了一種更正式的方法。

set.seed(2013) ks.test

測試返回的p值為0.027，這遠遠不夠（p值越小，我們必須得出的結(jié)論是兩個分布不同）。接下來我們設(shè)置標準GBM功能。我完全清楚各種GBM函數(shù)作為眾多包的一部分存在。盡管如此，我還是決定創(chuàng)建自己的函數(shù)，以使內(nèi)部工作更加透明。

m((mu * dt * x) + #drift rnorm(1, mean = 0, sd = 1) * sqrt(dt) * sigma * x) #random innovation x }

在這個簡單的函數(shù)中（我知道有更優(yōu)雅的方法來實現(xiàn)這一點，但結(jié)果保持不變）rnorm函數(shù)充當(dāng)Wiener進程驅(qū)動程序。毋庸置疑，這并不尊重我們上面所看到的。相比之下，我的偽布朗函數(shù)從過去經(jīng)驗回報的核密度估計中抽樣隨機創(chuàng)新。

pseBM <- function(x, rets, n, ...) { N < y[[i]] <- x + x * (mean(rets) + samp[i]) x <- y[[i]] } return(y) }

不可否認，這個函數(shù)有點簡潔，因為它假設(shè)靜態(tài)增量（即dt = 1）并且?guī)缀醪恍枰脩糨斎搿Ｋ恍枰粋€起始值（x），一個過去返回的向量（rets）和指定的路徑長度（n）。...輸入允許用戶將其他命令傳遞給密度函數(shù)。這使用戶可以通過添加帶寬命令（bw =）來控制核密度估計的平滑度。沒有任何進一步的麻煩，讓我們開始使用上述功能進行模擬。在第一個例子中，我們僅使用起始值x中的兩個函數(shù)來模擬一個價格路徑，即系列中的最后一個價格。 要查看兩個方法的執(zhí)行情況，我們計算模擬序列的回報并將它們的分布與經(jīng)驗分布進行比較。

x <- as.numericattPGBMr <- diff[-1] d1 <- density d2 <- density d3 <- density plot

顯然，我們看到PGBM函數(shù)（藍線）在產(chǎn)生接近經(jīng)驗回報分布（黑線）的回報時優(yōu)于標準GBM函數(shù)（紅線）。同樣，關(guān)鍵（或視覺上無能）的讀者可以查看KS測試的結(jié)果。

ks.test(attr, attPGBMr)

我們再次看到PGBM函數(shù)（p值= 0.41）遠遠優(yōu)于GBM函數(shù)（p值= 0.02）。

高級示例

正如所承諾的那樣，我們的第二個例子將展示當(dāng)一個人在不能代表基礎(chǔ)數(shù)據(jù)時錯誤地假設(shè)正態(tài)分布時，在線上有多少錢。自從金融黑暗時代醒來以來，歐洲特別表現(xiàn)出對結(jié)構(gòu)性金融產(chǎn)品的渴望，這些產(chǎn)品可以參與股票市場，同時限制或消除下行風(fēng)險。此類證券通常依賴于路徑，因此通常使用GBM進行建模。

我們將使用Generali Germany提供的一種特定產(chǎn)品 - Rente Chance Plus - 這是我開發(fā)PGBM功能的最初原因。當(dāng)我在私人銀行工作時，我的任務(wù)是評估這個特定的安全性，從基于GBM的標準蒙特卡羅模擬開始，但很快意識到這還不夠。Rente Chance Plus提供20％參與EUROSTOXX 50指數(shù)上限至15％的上限，初始投資和實現(xiàn)收益均無下行。安全性在每年年底評估。盡管Generali可以在20年的投資期內(nèi)自由改變參與率和資本化率，但為了論證，我們將假設(shè)這些因素保持不變。

從上面反映我們的程序，我們首先從雅虎財經(jīng)下載EUROSTOXX 50價格信息。

eu <- getSymbols

接下來，我們看看數(shù)據(jù)與正態(tài)分布的擬合程度如何，或者說多么糟糕。

plot(density(er)ks.tst(er

從嚴格的視角來看，這看起來比AT＆T分布更糟糕。EUROSTOXX的回報顯然是負面偏差，有點leptokurtic。KS測試返回p值為0.06，確認視覺不匹配。現(xiàn)在我們已經(jīng)確定正態(tài)分布不是最合適的，我們可以看看錯誤地假設(shè)它的后果。我們將使用標準GBM和我的PGBM函數(shù)運行10,000次迭代的模擬并比較結(jié)果（如果您正在復(fù)制以下代碼，請在等待時給自己喝杯咖啡。這將花費一些時間來運行）。

x <- as.numerSIM1 <- as.data.frameSIM2 <- as.data.frame(sim2 <- ts(as.matri

當(dāng)然，我們對EUROSTOXX 50的價格水平不感興趣，而是在參與率和上限率的約束下評估的回報。好消息是最困難的部分就在我們身后。計算回報和應(yīng)用約束非常簡單。對結(jié)果進行調(diào)整并不容易。

s1.r <-(sim2))S1<-colSumsS2<-colSum rug(jitks.test

我們可以清楚地看到，PGBM函數(shù)（藍色）模擬的累積回報表現(xiàn)出負偏差，并且范圍比標準GBM函數(shù)（紅色）模擬的回報更寬。請注意，由于安全性沒有下行限制，分布在下尾區(qū)看起來并不相同。KS測試以極其確定的方式證實兩種分布是不同的（然而，小的p值主要是由大樣本量引起的）。現(xiàn)在回答這個百萬美元的問題（實際上非??常字面）。線路上有多少錢？好吧，如果Generali使用正態(tài)分布來預(yù)測回報并相應(yīng)地重新投保，他們會......

均值（S1）-mean（S2）

...低估了累計回報率約0.6％。這可能看起來并不多，但如果我們假設(shè)安全數(shù)量為10億歐元，那么Generali就達不到600萬歐元 - 相當(dāng)多的錢只是假設(shè)錯誤的分配。

結(jié)論和局限

那么我們從中學(xué)到了什么呢？用于對任何依賴路徑的安全定價模型中的創(chuàng)新進行建模的分布可能會產(chǎn)生重大影響。雖然這個陳述本身就很明顯，但分布差異的程度令人驚訝。當(dāng)然，在Generali和其他機構(gòu)工作的人可能比我更聰明，他們非常清楚正常分布并不總是最佳選擇。但是，大多數(shù)人會使用更正式的（但可能只是不準確的）分布，如t分布或Cauchy分布。使用核密度分布是一種聞所未聞的方法。這是有原因的。

首先，不能保證核密度估計比未回避的正態(tài)分布更準確地表示未知的基礎(chǔ)分布。使用過去的數(shù)據(jù)預(yù)測未來總是讓任何數(shù)據(jù)科學(xué)家的口味都不好，但不幸的是我們別無選擇。然而，標準GBM固有的正態(tài)分布確實過于依賴過去的信息（即歷史均值和標準偏差），但在形式化解決方案方面具有巨大的優(yōu)勢，因為其核心作用（雙關(guān)語僅用于后見之明）概率論。

其次，內(nèi)核密度估計對使用的帶寬非常敏感。如果帶寬太大，您將獲得平滑的分布，但是，與正態(tài)分布沒有區(qū)別。如果帶寬太小，您將獲得一個非常強調(diào)極值的分布，特別是如果您估計內(nèi)核密度的數(shù)據(jù)樣本相當(dāng)小。在上面的例子中，我們使用了密度函數(shù)中固有的自動帶寬選擇器，但幾乎沒有辦法知道最佳帶寬是什么。

上述方法還有其他局限性，因為我們做了許多非常不切實際的假設(shè)。在Generali的例子中，我們假設(shè)Generali沒有改變參與率和上限率，這是不太可能的。然而，更一般地說，我們對金融市場做出了一些基本假設(shè)。知情（希望）我們假設(shè)資本市場是有效的。因此，我們假設(shè)回報中沒有自相關(guān)，這是維納過程的第二個條件，但這是否代表了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)？

acf（eu.r

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的R语言做复杂金融产品的几何布朗运动的模拟的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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