All-Pay Contests 論文定理推導（博弈論+機制設計）

• • • 一、Theorem 1 證明過程
    • 二、Theorem 2 證明過程
    • 三、Corollary 1 證明過程
    • 四、存在的問題

• 本文針對于全支付競賽（準確來說是標準競賽）提出兩大結論：Theorem 1有關標準競賽中參賽者的均衡收益情況；Theorem 2有關標準競賽中參賽者的均衡參與情況。 Theorem1、2需依賴于均衡存在性定理（原文中Corollary 1）。因此本文證明大體分為三部分。
• 三部分的證明之間存在聯系。Corollary 1證明獨立，是Theorem1,2成立的基礎。Theorem 1證明依賴于Generic Condition。Theorem 2證明依賴于Generic Condition與Theorem 1。

一、Theorem 1 證明過程

• 總體來說：Theorem 1的證明分為四部分，提出四個Lemma并分別證明，四個Lemma組合可推出Theorem 1的內容。（基于Generic Condition+均衡存在性）
• Theorem 1內容：在標準競賽的任意均衡中，每個參賽者的期望收益都等于其power值與0之間的較大值。（$N_W$中參賽者期望收益為power，$N_L$中參賽者期望收益為0。）
• 選擇一個標準競賽以及一個競賽的均衡$G=(G_1,...,G_N)$。（任意標準競賽均衡存在+任意競賽的任意均衡滿足定理1$\to$定理1得以證明）

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• LEAST LEMMA：參賽者在任意均衡$G$中的期望收益至少等于其power與0之間的較大值。
  證明：初始分數的存在使得每位參賽者的收益都大于等于0（$N_L$中參賽者$i$選擇分數$s_i\in [a_i,r_i)$，如果獲勝那么期望收益為正，如果失敗那么不如選擇初始分數保證收益為0）。參賽者劃分為$N_W,N_L$兩部分，$N_L$中參賽者power小于0故已滿足引理。$N_W$中任意參賽者選擇分數$max\{a_i,T+?\},?>0$都可以打敗$N_L$中所有$n?m$位參賽者而獲勝（$N_L$中參賽者reach<T，因此不會出價大于等于T）。由此可得：（參賽者$i$百分百選擇最高的分數獲勝，伴隨著最大的代價，因此是期望收益的下界）
  $$u_i\ge v_i(max\{a_i,T+?\}){\to }_{?\to 0}{v}_i(max\{a_i,T\})=w_i$$
  由上式可得$N_W$中參賽則期望收益大于等于其power（$N_W$中參賽則的power>0）。綜上，LEAST LEMMA得證。
  作用：證明了任意均衡中所有參賽者期望收益都至少為power與0之間的較大值（定理1的下界部分）。

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• TIE LEMMA：假設在均衡$G$中兩個以上的參賽者為分數$x$分配了概率，也就是說以嚴格正值概率選擇$x$。那么為分數$x$分配了概率的參賽者們如果選擇$x$要么一定一起獲勝要么一定一起失敗。
  證明：為分數$x$分配了概率的參賽者集合為$N^{\prime },|N^{\prime }|\ge 2$。事件$N^{\prime }$中所有參賽者選擇分數$x$定義為$E$。$x$為獲獎分數并且$x$出現同分數的事件定義為$D$（$m^{\prime }$個獎項分配給$N^{\prime }$中$|N^{\prime }|$個參賽者，且$1\le m^{\prime }<|N^{\prime }|$）。假設$D$有嚴格正值概率，在$D$的基礎上，至少有一位參賽者$i\in N^{\prime }$可以通過選擇略大于$x$的分數從而獲勝。因此事件$D$并不滿足最優響應，換句話說任意均衡中不可能出現事件$D$。因此$P(E)=P(E^L)+P(E^W)$，其中，$P(E^L)$表示出現事件$E$且$N^{\prime }$中所有參賽者全部失敗，$P(E^W)$表示出現事件$E$且$N^{\prime }$中所有參賽者全部獲勝，$D$事件不存在均衡中，因此無第三種部分獲勝部分失敗的情況。因此在$E$的基礎上，要么$E^W$成立要么$E^L$成立。TIE LEMMA得證。
  作用：均衡中可能會有多位參賽者為某個分數附以概率。TIE LEMMA消除了那些平分數參賽者中部分獲勝的情況。均衡中無上述情況有助于確定哪些參賽者的期望收益為0。
  （該引理說的是，在均衡中不會出現平局卡在分數$x$上，因為從結果反推的角度，平局中至少有一個參賽者可以略微提高分數從而必勝。但實際上，參賽者不會知道是否會發生平局，因此也無法做出策略調整規避掉平局的均衡？其實還是考慮博弈的過程是否會向著均衡的方向演化）

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• ZERO LEMMA：在均衡$G$中，至少有$n?m$位參賽者針對于他們獲勝概率等于0或者接近于0的情況做出最優響應。這些參賽者期望收益最大是0。
  證明：用$J$表示某個$m+1$位參賽者的集合。用$\tilde{S}$表示$J$中參賽者最優響應集合的聯合。用$s_{inf}$表示$\tilde{S}$（笛卡爾積）的下確界。一共有三種情況：（1）$J$有兩個及以上的參賽者針對分數$s_{inf}$附以正值概率。（2）$J$只有一個的參賽者針對分數$s_{inf}$附以正值概率。（3）$J$沒有參賽者針對分數$s_{inf}$附以正值概率。
  情況（1）：用$N^{\prime }$表示$J$中針對分數$s_{inf}$附以正值概率的參賽者。對于$N^{\prime }$中每位參賽者來說不可能成立$P_i(s_{inf})=1$，由此根據TIE LEMMA得到：對于$N^{\prime }$中每位參賽者來說一定成立$P_i(s_{inf})=0$。
  情況（2）：用$i$來表示$J$中唯一一個針對分數$s_{inf}$附以正值概率的參賽者。$P_i(s_{inf})=0$一定成立（因為$J$中其余m位參賽者選擇分數一定大于$s_{inf}$）。由此(1)(2)可得：任意m+1位參賽者的集合$J$中，可能選擇分數下確界的參賽者一定成立$P_i(s_{inf})=0$，并且針對獲勝概率為0的情況選擇分數$s_{inf}$也是其最優響應。
  情況（3）：根據下確界$s_{inf}$的定義，一定存在某位參賽者i其最優響應$\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$接近于$s_{inf}$。當$n$趨向于無窮時，$P_i(x_n)$接近于0。
  因為$J$是任意一個包含m+1位參賽者的集合，因此任意均衡中至少有n-m位參賽者是針對其獲勝概率等于0或接近于0做出的最優響應。（類似鴿籠原理，假設只有n-m-1個人成立，那么存在某個m+1個人中沒有人成立）獲勝概率等于0或接近于0，那么期望收益至多為0。
  作用：$N_L$中$n?m$位參賽者的任意均衡下期望收益為0。（LEAST LEMMA中得到$N_W$中參賽者期望收益至少為Power，那么n-m個只能是$N_L$中的。）

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• THRESHOLD LEMMA：$N_W$中的參賽者最優響應是接近或者超過threshold，因此期望收益最多為其power值。
  證明：1.對于$N_L\backslash \{m+1\}$中的參賽者來說，其最優響應的上確界為$s_{sup}<T$。為了證明$N_W$中每位參賽者都為接近或者超過threshold的分數附以了概率，使用反證法。假設存在一位$N_W$中參賽者，沒有為接近或者超過threshold的分數附以概率。那么marginal player可以純策略在范圍$(max\{a_{m+1},s\},T)$中選擇分數從而百分百贏得比賽。此時marginal player期望收益為正，與上面結論相違背。（證明$N_W$中參賽者的最優響應）
  2.在$N_W$中任選一位參賽者$i$。其最優響應$\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$接近于某個$z_i\ge T$。根據LEAST LEMMA，$v_i(x_n)>0$。根據$v_i$的連續性，我們可以得到：（證明$N_W$中參賽者的期望收益上界）
  $$\begin{gathered} u_i=u_i(x_n)=P_i(x_n)v_i(x_n)?(1?P_i(x_n))c_i(x_n)\le v_i(x_n) \\ {\to }_{x_n\to z_i}{v}_i(z_i)\le v_i(T)=w_i \end{gathered}$$
  作用：證明了$N_W$中參賽者期望收益的上界為power。
• 綜合以上引理及其證明。LEAST LEMMA與THRESHOLD LEMMA共同證明了$N_W$中參賽者所有均衡下期望收益等于其power。TIE LEMMA輔助證明ZERO LEMMA，從而證明了$N_L$中參賽者所有均衡下期望收益等于0。（均在標準競賽的前提下）綜合上述兩點，定理1得證。

二、Theorem 2 證明過程

• 總體來說：Theorem 2的證明采用反證法，通過假設反面推理與已證明的Theorem 1部分結論產生矛盾。（基于Generic Condition+均衡存在性+Theorem 1）
• 正常情況下，全支付競賽所有參賽者的初始分數都是0，不存在初始優勢。因此m+1以后的參賽者很少會參與。
• 每位參賽者的伯努利效用函數除以$u_i(a_i)$后并不影響均衡中所有參賽者的策略表現，（伯努利效用函數為：$u_i(s)=P_i(s)v_i(s_i)?(1?P_i(s))c_i(s_i)$）因此利用所有參賽者$u_i(a_i)=1$的競賽證明即可代表所有競賽。（這也是為何定理2中有正則化）
• 證明方法使用反證法。選擇該競賽中的一個均衡$G$，假設存在某位參賽者$i>m+1$滿足定理2的條件并且參與到了競賽中。即
  $$\begin{gathered} \frac{c_{m+1}(max\{a_{m+1},x\})}{v_{m+1}(a_{m+1})}<\frac{c_i(x)}{v_i(a_i)}\text{?for?all?x∈Si?} \\ \frac{v_{m+1}(max\{a_{m+1},x\})}{v_{m+1}(a_{m+1})}\ge \frac{v_i(x)}{v_i(a_i)}\text{?for?all?x∈Si?} \end{gathered}$$
• 令$t_i=inf\{x:G_i(x)=1\}<T$。$t_i$可理解為參賽者$i$混合策略中所選擇分數的最大值，$t_i\le r_i<T$。令$\widetilde{t_i}=max\{a_{m+1},t_i\}<T$，那么$P_i(t_i)<1$（由Threshold引理證明過程可得，$N_W$中m位參賽者選擇分數接近或者超過threshold，參賽者$i$最高分數才為$t_i<T$，因此不可能必勝），并且對于任意$\delta >0:P_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )\ge P_i(t_i)$（$\widetilde{t_i}+\delta >t_i$，在獎項估值相同為1且代價函數遞增的情況下，分數越高獲獎概率越大，也稱為競賽的單調性）（競賽的單調性也是可研究的因素）。因此對于任意$\delta >0$使得$\widetilde{t_i}+\delta <r_{m+1}=T$我們有：
  $$v_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )>0\ge ?c_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ))$$
  上式的含義是，參賽者m+1選擇分數$\widetilde{t_i}+\delta$時代價函數大于等于0且獲勝效用大于0。
• 我們可以得到：
  $$\begin{gathered} u_{m+1}\ge P_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )v_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )?(1?P_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ))c_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ) \\ \ge P_i(t_i)v_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )?(1?P_i(t_i))c_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ) \\ \text{(根據Pm+1?(ti?~?+δ)≥Pi?(ti?))} \end{gathered}$$
• 根據定理2中的定義可得，$c_i(t_i)>c_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ),v_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )\ge v_i(t_i)$，由此可得：
  $$\begin{gathered} P_i(t_i)v_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta )?(1?P_i(t_i))c_{m+1}(\widetilde{t_i}+\delta ) \\ >P_i(t_i)v_i(t_i)?(1?P_i(t_i))c_i(t_i)=u_i(t_i)\ge 0 \end{gathered}$$
• 由此可得$u_{m+1}>u_i(t_i)\ge 0$，即$u_{m+1}>0$這有違定理1。（定理1表明$u_{m+1}=0$）根據反證法可得，定理2成立。

三、Corollary 1 證明過程

• 總體來說：Corollary 1的證明通過特殊化競賽，利用一些現有結論或特殊性質找到一定存在的均衡，再證明該均衡也存在于原競賽中即可。（該部分證明獨立）
• 推論1：所有的全支付競賽中都存在均衡。
• 考慮一個競賽$C$與一個受限的競賽$C^{\prime }$，其中每位參賽者選擇分數在$S_i^{\prime }=[a_i,K],K=ma{x}_{i\in N}{r}_i<\infty$范圍內。（正常競賽每位參賽者的分數選擇范圍是$[a_i,\infty )$）任何$C^{\prime }$中的均衡都是$C$中的均衡（K是所有參賽者最大的reach，選擇大于K的分數一定使得任何參賽者收益為負，不如選擇初始分數收入為0），因此我們只要證明$C^{\prime }$中一定存在均衡即可。
• 令$S^{?}={\times }_{i\in N}{S}_i^{\prime }\backslash \{(s_1,...,s_n)|?i=j:s_i=s_j\}$，換句話說$S^{?}$是所有參賽者備選分數組合然后去掉存在相同分數選擇的情況。根據Simon and Zame的研究成果，存在某種打破平局規則，從而使得$C^{\prime }$有一個混合策略均衡$G$。將應用了該種打破平局規則的競賽表示為$\tilde{C}$，均衡$G$中參賽者的收益為$\widetilde{u_i}$。我們只需證明競賽$\tilde{C}$中的均衡$G$也是競賽$C^{\prime }$的均衡即可。換句話說，只需證明在$C^{\prime }$中$G$的混合策略對每位參賽者來說都是最優響應即可。
• 證明分兩步驟進行。第一步證明在競賽$C^{\prime }$中按照均衡$G$的混合策略決策，參賽者的效用等于$\widetilde{u_i}$。第二步證明不存在其他分數選擇使參賽者獲得相較于$\widetilde{u_i}$的更高收益。綜上$G$中混合策略在競賽$C^{\prime }$中也是最優響應，即$G$也是競賽$C^{\prime }$的均衡。從而證明了$C^{\prime }$中一定存在均衡，從而得到任意全支付競賽中都存在均衡。

四、存在的問題

1.Corollary 1的證明過程中通過特殊化競賽以及利用現有結論證明均衡存在性，請問該方法是否是均衡存在性證明的一貫方法？
2.Tie-Breaking Rule在證明中多次出現，該因素是不是影響競賽表現的一大關鍵因素？有無文章關注于該因素？
3.最優響應為何表示為矩陣序列$\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$？n趨向于無窮的極限代表著什么？

總結

以上是生活随笔為你收集整理的All-Pay Contests 论文定理推导（博弈论+机制设计）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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