[51Nod 1035 最長的循環節] 循環小數的性質

知識點：數論 循環小數の性質 歐拉公式

1. 題目鏈接##

[51Nod 1035 最長的循環節]

2. 題意描述

正整數k的倒數1/k，寫為10進制的小數如果為無限循環小數，則存在一個循環節，求<=n的數中，倒數循環節長度最長的那個數，假如存在多個最優的答案，輸出所有答案中最大的那個數。
1/6= 0.1(6) 循環節長度為1
1/7= 0.(142857) 循環節長度為6
1/9= 0.(1) 循環節長度為1
(10≤n≤1000)

3. 解題思路

首先，需要介紹一下循環小數的幾個性質。證明論文《康明昌-循環小數》

循環小數的每個循環節長度為偶數，（記為2k），那么每個循環節中第i（1≤i≤k）個數字 + 第(i+k)個數字之和為9；

如果p是質數，并且d是1p的循環節的位數，則d可以整除p?1；

如果1≤b<a， a沒有2或者5的質因數，并且a與b互質，那么ba的循環節位數等于：min{e∈N:10e≡1(moda)}；

如果1≤b<a， a沒有2或者5的質因數，并且a與b互質，那么ba的循環節位數必整除ψ(a)(即a的歐拉函數);

如果n,m≥3, 2和5都不整除mn,并且n與m是互質的正整數，則1mn的循環位數是1n與1m循環小數位數的最小公倍數;

……，其他定理可以參考論文。

在這個題，我們需要用到的結論就是第3條。
需要特殊處理的是，分母含2或5的因數。如1235。可以先將2或5的因數提出來：

1235=15?47=247?110
1235的循環位數是跟 247是一樣多的。而 247循環位數也正是 147的循環位數。
數據比較小，所以暴力枚舉 e<script type="math/tex" id="MathJax-Element-218">e</script>即可。

4. 實現代碼

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int MAXN = 1000 + 5;int n;int q_pow(int a, int b, int mod) {int ret = 1;while(b > 0) {if(b & 1) ret = ret * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return ret; }int calc(int x) {while((x & 1) == 0) x >>= 1;while(x % 5 == 0) x /= 5;if(x == 1) return 1;int e = 1;while(q_pow(10, e, x) != 1) e ++;return e; }PII ans[MAXN]; void init() {ans[1] = PII(1, 0);for(int i = 2; i < MAXN; i++) {int z = calc(i);if(ans[i - 1].second <= z) ans[i] = PII(i, z);else ans[i] = ans[i - 1];} }int main() { #ifdef ___LOCAL_WONZY___freopen("input.txt", "r", stdin); #endif // ___LOCAL_WONZY___init();while(~scanf("%d", &n)) {printf("%d\n", ans[n].first);}return 0; }

總結

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