頻率混疊

1.定義

混疊是指取樣信號被還原成連續信號時產生彼此交疊而失真的現象。當混疊發生時，原始信號無法從取樣信號還原。
而混疊可能發生在時域上，稱做時間混疊，或是發生在頻域上，被稱作空間混疊。

2.分析

2.1.時域混疊

下圖，圖中的信號是 x(t) = cos(2πf’t)的一部分，

采樣SF=f’時，得到一條直流曲線

采樣SF=2f’時，得到一個低頻三角波信號

采樣SF=4f’/3時，得到更低的三角波信號

采樣信號不僅不能重構原信號，出現混疊頻率，即采樣信號不能保持原信號的頻譜特性。
（簡單的說，就是采樣的頻率太小，單位時間內的采樣點不夠，不足以擬合原本的信號形狀，所以無法保持原信號的特征）

2.2.頻域混疊

圖1是采樣頻率低于2倍Nyquist頻率時的頻率圖像，圖2反之。
[1]

連續信號經過離散采樣后，得到的離散信號的傅氏譜為原信號傅氏譜SF倍的周期延拓，如果原信號中包含的最高頻率成分 ，則在離散信號譜中相應周期的譜會出現重疊。
[2]

反之，如果 ，即采樣頻率大于分析信號中最高頻譜成分的2倍，則采樣后離散信號頻譜中不會出現頻率混疊。

3.怎么消除

混疊本身是采樣的必然效應，只不過如果混疊到原信號帶寬范圍內的頻率成分為零的話，信號不會被破壞，也就能“完全重構”了。
采樣定理的一個重要指導意義是給出了消除混疊的最低條件，消除頻率混疊的途徑有兩種：

最簡單的，提高采樣率：采樣率越高，保留的信號特征越多。但是實際情況中，信號可能包含(0，∞）的頻率，不可能無限制的提升采樣率。

采用抗混濾波器：在采樣頻率fs一定的前提下，通過低通濾波器濾掉高于fs/2的頻率成分，通過低通濾波的信號則可避免出現頻率混疊。
理論上，經過理想濾波器的高于Nyquist頻率的部分會被消去，不會產生混疊。但實際濾波器不可能達到理想濾波器的效果，所以實際處理過程中一般應滿足下面的關系：fs=(2.5~4.0)fmax

4.混疊實例

一種常見的發生混疊的情況就是電影。 這是因為不斷以24幀/秒的速率對變化的圖像進行離散采樣。 奈奎斯特抽樣定理告訴我們，如果在圖像平面中的任何一點出現混疊存在比fs/2 (在這種情況下為12幀/秒)更高的頻率分量或光暗過渡，混疊現象就會發生。 但是在許多情況下，這個光暗的過渡可能發生得比這個更快 - 比如馬車輪或螺旋槳高速旋轉。
考慮一個有八個輻條車輪以3轉/秒（或180rpm）的轉速旋轉。 在這種情況下，車輪會在每幀內移動一個輻條，因為：

因此，貨車輪將看起來靜止不動。 但是這種情況非常少見，因為車輪恰好按照這個速度旋轉的概率非常小。
考慮如果車輪以一個低于這個數值的速率轉動，比如2.5轉/秒。 車輪將移動83%個輻條間距每幀。 所以，比較兩個相鄰的幀，我們會看到下面的現象：
人的大腦在看這些電影幀的時候會存在兩個解釋。 一個解釋是輪子已經移動了83%沿順時針方向輪輻間隔。 另一種解釋就是它已經沿著逆時針方向移動了17%的輻條間隔。 事實證明大腦喜歡后者的解釋，所以你感覺到的結果是車輪以比實際速度慢的速度向后（逆時針）移動移動。

總結

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