前些日子在網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)一道編程題目，引用如下：

題目詳情:

本題的獎品由億陽信通贊助，以下是題目詳情：

給定表達式[x/2] + y + x * y, 其中x,y都是正整數(shù)。其中的中括號表示下取整，例如[3/2] = 1 ， [5/2] ?= 2。

有些正整數(shù)可以用上述表達式表達出來，例如正整數(shù)2，當(dāng)取x = y = 1時，可以把2表達出來

（ 解釋下：當(dāng)x=y=1時， [x / 2] + y + x * y = [1 / 2] + 1 + 1 * 1 = 0+1+1 = 2 ）；

有些數(shù)可以有多種方式表達，例如13可以由 x = 2 y = 4 以及x = 3 y = 3來表示；

有些數(shù)無法用這個表達式表達出來，比如3。

從1開始第n個不能用這個表達式表示出來的數(shù)，我們叫做an，例如a1=1 a2=3,給定n，求an。

輸入：n值 1<=n<=40

輸出：an % 1000000007的結(jié)果（因為結(jié)果較大，輸出an %1000000007的結(jié)果）。

函數(shù)頭部

C/C++：

int givean(int n);

java：

public class Main {

? ? ? public static int givean(int n) {

? ? }

}

答題說明:

main函數(shù)可以不用完成，完成givean函數(shù)即可，givean函數(shù)外可編寫其它函數(shù)。

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一時興起，就嘗試解答此題，思路：使用二重循環(huán)窮舉法來判斷一個數(shù)是不是不可表示的數(shù)。

我的代碼：

public static int givean(int n){if (n < 1 || n > 40){return -1;}long i = 0;while (n > 0){i++;if (isUndisplayNumber(i)){n--;}}return (int) (i % 1000000007);}/*** 判斷n是否為不可表示數(shù)* * @param n* @return*/private static boolean isUndisplayNumber(long n){if (n == 1 || n == 3){return true;} else if (n % 2 == 0){return false;}for (long i = 1; i <= n; i++){for (long j = 1; j <= n; j++){long m = i / 2 + j + i * j;if (m > n){break;}if (m == n){return false;}}}return true;}

編譯和測試結(jié)果顯示正常（其實givean(6)運行已經(jīng)超時，超過100s），提交結(jié)果：

【抱歉，處理您的請求時出錯。】
知道這是因為我的窮舉法太費時了，嘗試了幾種優(yōu)化方案，但效果都不明顯。在此標(biāo)記，以備后學(xué)！

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備注：

后來利用搜索引擎在開心問答網(wǎng)上搜到一篇相關(guān)文章（http://www.kaixinwenda.com/article-lzc52151-9957839.html），分析如下：

推導(dǎo)：

1、? 對[x/2] + y + x * y分析，試探：x=1，原式=2y，表示所有偶數(shù)，即對所有偶數(shù)都能用此式表示，故后文重點討論哪些奇數(shù)不能被其表示（本文討論的所有奇偶數(shù)都為非負數(shù)）。

2、? 對x分為4n,4n+1,4n+2,4n+3四種情況討論。

容易得到，x=4n+1時，不論y取何值，原式必為偶數(shù)，與1)中情況重復(fù)，故舍去不討論；

x=4n時，y=2m+1才能保證原式為奇數(shù)，其中要保證n>0；

x=4n+2時，y=2m才能保證原式為奇數(shù)，其中要保證m>0；

x=4n+3時，y=2m或2m+1都能使原式為奇數(shù)；

故只討論后三種情況。

3、? 把x=4n，y=2m+1代入原式易得2(m+n)+8mn+4n+1、n>0；

把x=4n+2，y=2m代入原式易得2(m+n)+8mn+4m+1、m>0；

明顯，這兩種情況可表示的奇數(shù)是相同的，故只需研究其中一種即可。

總結(jié)一下，目前已知原式對所有偶數(shù)可表示，對哪些奇數(shù)可表示呢？我們要研究的情況只有兩種x=4n+2（即x=4n）與x=4n+3時的情況。

4、? 對x=4n+2時，不限制y的奇偶性，此情況下，原式可表示為2n+3y+4ny+1；

對x=4n+3時，不限制y的奇偶性，，此情況下，原式可表示為2n+4y+4ny+1；

下面我們重點討論這兩種情況表示的奇數(shù)包括哪些。

5、? 對x=4n+3，原式=2n+4y+4ny+1=2(n+1)(2y+1)-1，即表示一個奇數(shù)(2y+1)的偶數(shù)倍減1。也就是說x=4n+3情況時，表示的奇數(shù)都具備一個特征：這個奇數(shù)可以寫成一個奇數(shù)的偶數(shù)倍減1。

故我們可以得到下面的結(jié)論：在x=4n+3的情況下，如果偶數(shù)B能寫成一個奇數(shù)的偶數(shù)倍，即奇數(shù)與偶數(shù)的乘積，那么奇數(shù)A=B-1可以被原式表示。

其逆否命題：在x=4n+3的情況下，奇數(shù)A=B-1不可以被原式表示，則偶數(shù)B不能寫成奇數(shù)與偶數(shù)的乘積，即其因子分解只能寫成偶數(shù)與偶數(shù)的乘積。

一個偶數(shù)因子分解只能寫成偶數(shù)與偶數(shù)，只有2的冪了。

故得到結(jié)論：在x=4n+3的情況下，不可以被原式表示的奇數(shù)都是2的冪減1。

6、? 對x=4n+2，原式=2n+3y+4ny+1=[(4n+3)(2m+1)-1]/2，即表示兩個奇數(shù)的積減1的差的一半。也就是說x=4n+2情況時，表示的奇數(shù)都具備一個特征：這個奇數(shù)可以寫成兩個奇數(shù)的積(4n+3)(2m+1)減1的差的一半。

換句話說，在x=4n+2的情況下，原式所能表示的奇數(shù)A都可以寫成兩個奇數(shù)的積減1的差的一半。反過來，2A+1必定能寫成兩個奇數(shù)的積。

而對任意的2A+1必為奇數(shù)，它要么能寫成兩個奇數(shù)的積要么是素數(shù)。

故得到結(jié)論：在x=4n+2的情況下，不可以被原式表示的奇數(shù)A都是某個素數(shù)減1的差的一半。

7、? 把1）、5)與6)的結(jié)論綜合起來，對任意正整數(shù)x、y，如果不能被原式表示，它必定是奇數(shù)，這個奇數(shù)必定是2的冪減1，同時是某個素數(shù)減1的差的一半。

用形式化語言表達，對任意正整數(shù)x、y，不能被[x/2] + y + x * y表示的數(shù)，必定可以寫成2^p-1，且2^(p+1)-1是一個素數(shù)。

8、? 于是我們得到這個問題的解答：an中的元素都滿足2^p-1且2^(p+1)-1是素數(shù)。

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編程求解：

問題從數(shù)學(xué)上已經(jīng)解決了，并得到了一個漂亮的解答。但如何求2^p-1，還要判斷2^(p+1)-1是否為素數(shù)，這都是非常困難。

一步步來，求素數(shù)，傳統(tǒng)方法當(dāng)然是素性檢測，以前寫過一個拉賓米勒測試，很復(fù)雜。但突然意識到對2^p-1如果是素數(shù)的話，數(shù)論被叫做梅森素數(shù)，前人肯定有總結(jié)。

百度一下，前40個梅森素數(shù)的冪指數(shù)(p+1)取值為：2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839,859433,1257787,1398269,2976221,3021377,6972593,13466917,20996011。

有了梅森素數(shù)，只要求相應(yīng)的2^p-1即可。素數(shù)的問題是解決了，但2^20996011是個什么概念，天文數(shù)字，再強大計算機一時半會兒也算不出來。幸好題目是拿an對1000000007取模。通過模運算可以簡化問題。

模運算(2^p-1)%N=(2^p%N-1)%N，在這里等于2^p%N-1。但下面一個問題來了2^p%N怎么求？

2^p%N是一個龐大的數(shù)，傳統(tǒng)的方法是遞歸，無論從空間還是時間上來說都不解決問題。幸好往日有積累，對這種變態(tài)需求，當(dāng)然有特殊手段。運用蒙哥馬利算法可以迅速解決，秒殺之。

最后得到an的前40個數(shù)：1,3,15,63,4095,65535,262143,73741816,536396503,140130950,487761805,319908070,106681874,373391776,317758023,191994803,416292236,110940209,599412198,383601260,910358878,532737550,348927936,923450985,470083777,642578561,428308066,485739298,419990027,287292016,202484167,389339971,848994100,273206869,853092282,411696552,876153853,90046024,828945523,697988359。

提交代碼的時候，寫成枚舉，成功!

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的亿阳信通：不可表示的数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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