二叉樹

數組，鏈表和樹的比較

數組的優缺點：

• 優點：通過索引方式訪問元素，速度非常快，時間復雜度為O(1)。對于有序數組，還可以使用二分查找來提高查找的速度。
• 缺點：如果要查找某個具體的值，時間復雜度為O(n)，如果要在數組中插入某個值（按一定順序）會整體的移動，效率較低。

鏈表的優缺點：

• 優點：插入一個值，只需要創建一個節點并將節點鏈接到鏈表中即可。
• 缺點：在進行查找時，效率仍然較低，需要從頭節點開始遍歷，時間復雜度為O(n)。

樹的優點：能提高數據存儲和讀取的效率，比如利用二叉搜索樹，既可以保證數據的查找速度，同時也可以保證數據的插入，刪除，修改的速度。

樹（Tree）

樹的常用術語(結合示意圖理解):

• 節點：A、B、C、D、E、F、G、H。
• 根節點：A。
• 父節點：B是D和E的父節點。
• 子節點：B是A的子節點。
• 兄弟節點：D和E的父節點都是B、所以D的兄弟節點是E。
• 路徑：從一個節點到另一個節點的路線。
• 層數：根節點A在第一層，根節點的子節點B和C在第二層，以此類推（有的教程也從0開始計數）。
• 左子樹：節點B和節點B的子節點構成的樹稱為節點A的左子樹。
• 右子樹：節點C和節點C的子節點構成的樹稱為節點A的右子樹。
• 森林：多棵子樹構成森林。
• 節點的度：子節點或子樹的個數。
• 樹的度：所有節點中度的最大值。
• 葉子節點：沒有子節點的節點，度為0的節點。
• 非葉子節點：度不為0的節點。
• 節點的深度（depth）：從根節點到當前節點的唯一路徑上的節點總數（包含根節點和當前節點）。
• 節點的高度（height）：從當前節點到最遠葉子節點的路徑上的節點總數（包含當前節點和最遠葉子節點）。
• 樹的深度：所有節點深度中的最大值。
• 樹的高度：所有節點高度中的最大值。

樹的基本性質：

• 一棵樹可以沒有任何節點，為空樹。
• 一棵樹也可以只有一個節點，也就是根節點。
• 樹的深度等于樹的高度。

二叉樹（Binary Tree）

二叉樹：每個節點最多只能有兩個子節點的樹，也就是每個節點的度最大為2。

二叉樹的特點：

• 每個節點的度最大為2，節點的度可以為0、1、2。
• 即使某個節點只有一個子節點，也要區分左右子節點。

二叉樹的性質：

• 在非空二叉樹的第i層，最多有2^(i-1)個節點（i>=1）。
• 在高度為h的樹上，最多有2^h-1個節點(h>=1)。
• 對于任意一棵非空二叉樹，如果葉子節點的個數為n0，度為2的節點個數為n2，則有：n0=n2+1。

2^h-1的推導：

在高度為h的樹上，樹的高度即為層數，第一層最多有2^0個節點，第二層最多有2^1個節點...第n層最多有2^(h-1)個節點 設S為總節點個數，那么： S=2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1) (公式1) 2S=2*(2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1))=2^1+2^2+...+2^h (公式2) 使用公式2減去公式1得出S=2^h-2^0=2^h-1

n0=n2+1的推導：

已知非空二叉樹的葉子節點個數為n0，度為2的節點個數為n2，假設度為1的節點個數為n1，那么有： 樹的總節點個樹為n=n0+n1+n2 樹的邊條數為t=n1+2*n2（度為1的節點有一條邊，度為2的節點有兩條邊）=n-1（每個節點頭上都有一條邊，除了根節點）=n0+n1+n2-1（將上面的n的公式代入） 即有n1+2*n2=n0+n1+n2-1，消除左右公共項，得出n2=n0-1，也就是n0=n2+1

真二叉樹（Proper Binary Tree）

真二叉樹：所有節點的度要么為0，要么為2。

滿二叉樹（Full Binary Tree）

滿二叉樹：最后一層節點的度都為0，其他節點的度都為2。

滿二叉樹是一棵特殊的真二叉樹。

在同樣高度的二叉樹中，滿二叉樹的葉子節點數量最多、總節點數量最多。

假設滿二叉樹的高度為h（h>=1），那么：

• 第i層的節點數量：2^(i?1)。
• 葉子節點數量（也就是最后一層的節點數量）：2^(h?1)。
• 總節點數量n=2^h-1，那么h=log2(n+1)。

完全二叉樹（Complete Binary Tree）

完全二叉樹：二叉樹的所有葉子節點都在最后一層或者倒數第二層，而且最后一層的葉子節點在左邊連續，倒數第二層的葉子節點在右邊連續。

完全二叉樹從根結點至倒數第2層是一棵滿二叉樹。

滿二叉樹是一棵特殊的完全二叉樹。

完全二叉樹的性質：

• 度為1的節點要么只有一個，要么沒有。
• 度為1的節點只有左子節點。
• 同樣節點數量的二叉樹，完全二叉樹的高度最小。
• 假設完全二叉樹的高度為h（h>=1），總節點的數量為n，那么有h=floor(log2(n))+1。

h=floor(log2(n))+1的推導：

已知完全二叉樹的高度為h（h>=1），總節點的數量為n： 那么總節點數量至少有2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1)+1=2^(h-1)個（從根節點到倒數第二層的滿二叉樹+最后一層一個節點）， 最多有2^0+2^1+2^2+...+2^h=2^h-1個（滿二叉樹）， 即2^(h-1)<=n<=2^h-1<2^h 對等式兩邊取對數得出：h-1<=log2(n)<h 由于h是整數，所以h=floor(log2(n)) floor是向下取整，ceiling是向上取整，另外在計算機中整數的除法默認是向下取整。

一棵有n個節點的完全二叉樹（n>0），從上到下、從左到右對節點從1開始進行編號，對任意第i個節點：

• 如果i=1，它是根節點。。
• 如果i>1，它的父節點編號為floor(i/2)。
• 如果2i<=n，它的左子節點編號為2i。
• 如果2i>n ，它無左子節點，也無右子節點。
• 如果2i+1<=n，它的右子節點編號為2i+1。
• 如果2i+1>n，它無右子節點。

一棵有n個節點的完全二叉樹（n>0），從上到下、從左到右對節點從0開始進行編號，對任意第i個節點：

• 如果i=0，它是根節點。
• 如果i>0，它的父節點編號為floor(i/2)。
• 如果2i+1<=n–1，它的左子節點編號為2i+1。
• 如果2i+1>n–1，它無左子節點，也無右子節點。
• 如果2i+2<=n–1，它的右子節點編號為2i+2 。
• 如果2i+2>n–1，它無右子節點。

面試題

題目：如果一棵完全二叉樹有768個節點，求葉子節點的個數？

答案：768/2=384

假設完全二叉樹有n個節點，度為0的節點個數為n0，度為1的節點個數為n1，度為2的節點個數為n2，那么有 n=n0+n1+n2，前面有公式n0=n2+1 即n=n0+n1+n0-1=2n0+n1-1 即n0=(n-n2+1)/2 完全二叉樹的n1要么為0，要么為1 當n1為1時，n0=n/2，n一定是偶數 當n1為0時，n0=(n+1)/2，n必然是奇數 總結公式： n0=floor((n+1)/2)=ceiling(n/2) n1+n2=floor(n/2)=ceiling((n–1)/2)

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總結

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