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灯神动态规划(Dynamic Programing)学习笔记打劫问题凑整问题背包问题例题+原理+源码超详细讲解

發(fā)布時(shí)間：2023/12/16 编程问答 24 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了灯神动态规划(Dynamic Programing)学习笔记打劫问题凑整问题背包问题例题+原理+源码超详细讲解小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

動(dòng)態(tài)規(guī)劃Dynamic Programing學(xué)習(xí)筆記打劫問(wèn)題湊整問(wèn)題背包問(wèn)題

學(xué)習(xí)資源
- Example1. 打家劫舍問(wèn)題 looting problem
- Example2. 湊整問(wèn)題
Example3. 背包問(wèn)題

學(xué)習(xí)資源

燈神的視頻是我目前個(gè)人覺(jué)得講解最清晰的動(dòng)態(tài)規(guī)劃教學(xué)，這篇文章是對(duì)他視頻內(nèi)容的匯總，在此基礎(chǔ)上我還個(gè)人補(bǔ)充了背包問(wèn)題的解決方案。
燈神的b站小課堂

Example1. 打家劫舍問(wèn)題 looting problem

題目模型簡(jiǎn)化如下：給定數(shù)組arr=[4,1,1,9,1]，從中選擇數(shù)字來(lái)使得總和最大，注意不能選擇相鄰的數(shù)字。例如，選擇4后，不能選擇1；選擇9后，不能選擇9左右兩側(cè)的數(shù)字1。

模型建立。我們拿出一組新的數(shù)組arr=[1,2,4,1,7,8,3]，將其按順序分別編號(hào)為0-6。如圖

假定opt(6)表示：從前6個(gè)數(shù)字中選出總和最大的最佳方案（也就是我們期望得到的結(jié)果），同理opt(5)表示從前五個(gè)數(shù)字中選出來(lái)總和最大的方案……依次類推。

我們?cè)谶@個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行推理：對(duì)于第六個(gè)數(shù)字，我們有選擇和不選擇這兩種操作，當(dāng)我們選擇第六個(gè)數(shù)時(shí)，根據(jù)規(guī)則就無(wú)法選擇第五個(gè)數(shù)字，因此opt(6)=opt(4)+arr[6],即在這種情況下，opt6的值等于前四個(gè)數(shù)字中選出的最大值加上第六個(gè)數(shù)的數(shù)值。如果我們不選擇第六個(gè)數(shù)，那么opt(6)=opt(5)，即前五個(gè)數(shù)所能選出總和最大的值。

根據(jù)這個(gè)邏輯，為了算出opt6，我們需要經(jīng)歷以下過(guò)程。加號(hào)表示選擇當(dāng)前數(shù)，減號(hào)表示不選擇當(dāng)前數(shù)。整個(gè)過(guò)程的樹(shù)狀圖如下根據(jù)上圖所示的邏輯，我們可以從中推出普遍的遞推規(guī)律。因?yàn)槲覀兪乔笞畲笾?#xff0c;所以前i個(gè)數(shù)字所能構(gòu)成的最大總和為opt(i)=max(opt(i-1),opt(i-2)+arr[i])，其中，opt(i)是我們放棄選擇第i個(gè)數(shù)時(shí)所得到的前i-1個(gè)數(shù)能構(gòu)成的最大值；opt(i-2)+arr[i] 是我們選擇第i個(gè)數(shù)時(shí)能得到的最大值。

尋找出口條件：#當(dāng)i=0時(shí) opt(1)=max(arr[1],arr[0]) #當(dāng)i=1時(shí) opt(0)=arr(0)

用代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)當(dāng)前邏輯。分兩種，首先是recursive method

import numpy as nparr=[1,2,4,1,7,8,3]def rec_method(arr,i): #recursive methodif i==0: #在if和elif中填寫我們前面推出來(lái)的出口條件return arr[0]elif i==1:return max(arr[0],arr[1])else: #在else中填寫我們發(fā)現(xiàn)的基本邏輯a=rec_method(arr,i-1)b=rec_method(arr,i-2)+arr[i]return max(a,b)rec_method(arr,6)

運(yùn)行這段代碼后可以發(fā)現(xiàn)最終結(jié)果為15。這個(gè)地方我們運(yùn)行的基本原理就是在函數(shù)中不停地調(diào)用自身，最終由opt6出發(fā)推演至opt0，直到算出答案（如上面我手繪的樹(shù)狀圖）。這種辦法雖然變成起來(lái)思路比較直觀，但在該推演過(guò)程中有很多重復(fù)的運(yùn)算。回到上面的樹(shù)狀圖，該辦法在計(jì)算opt6時(shí)，重復(fù)計(jì)算了opt4和opt3，我分別用黃色、綠色熒光筆將重復(fù)部分標(biāo)記了起來(lái)。

當(dāng)arr內(nèi)數(shù)據(jù)和i的數(shù)量變大時(shí)，使用這種辦法的運(yùn)算成本將大幅升高。接下來(lái)介紹非recursive的計(jì)算方法：

#續(xù)上面的代碼 def nonrec_method(arr):opt = np.zeros(len(arr)) #建立數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)opt數(shù)據(jù)opt[0]=arr[0]opt[1]=max(arr[1],arr[0])for i in range(2,len(arr)):A = opt[i-2]+arr[i]B = opt[i-1]opt[i] = max(A,B)return opt[len(arr)-1] nonrec_method(arr)

輸出結(jié)果為15.0。該種方法可以理解為逆著樹(shù)狀圖，由opt0出發(fā)一步一步推演至最終結(jié)果opt6，好處在于每一步的結(jié)果我們都儲(chǔ)存在了數(shù)組中，節(jié)約了不少計(jì)算資源。

Example2. 湊整問(wèn)題

題目要求如下，給定數(shù)組arr=[3,34,4,12,5,2],判斷能否實(shí)用數(shù)組內(nèi)的數(shù)構(gòu)成S（s為一個(gè)數(shù)）。

模型建立：假定S=9，將arr中的數(shù)據(jù)從0-5進(jìn)行編號(hào)。如圖

我們?cè)O(shè)subset(i,S)，其中i表示使用前i個(gè)數(shù)字，S為我們期望拼湊成的數(shù)。例如，subset(5,9)表示使用前五個(gè)數(shù)字來(lái)拼湊出9的總和。subset(2,3)表示使用前兩個(gè)數(shù)字拼湊出3。我們從這個(gè)符號(hào)出發(fā)，開(kāi)始推理過(guò)程，首先考慮subset(5,9),我們此時(shí)要用前五個(gè)數(shù)來(lái)拼出9，首先判斷第五個(gè)數(shù)。在這個(gè)地方我們有兩種選擇，第一種選擇是使用第五個(gè)數(shù)來(lái)拼湊出9，那么選擇后的情況就變成了subset(4,7)，表示用前4個(gè)數(shù)去湊成7。第二種選擇是不使用第五個(gè)數(shù)，那么情況就變成了subset(4,9)。繪制成樹(shù)狀圖如下

由此我們可以推出普遍的遞推規(guī)律，若使用前i個(gè)數(shù)湊成S，遞推規(guī)律表達(dá)式為其中arr表示存放數(shù)據(jù)的數(shù)組。

接下來(lái)，我們開(kāi)始尋找出口條件，第一種情況是當(dāng)S下降為0時(shí)，說(shuō)明前面的數(shù)字已經(jīng)完成了拼湊任務(wù)，此時(shí)應(yīng)該返回True，表示能夠拼湊出S；第二種情況是當(dāng)i下降為0時(shí)，S仍然不為0。i=0說(shuō)明已經(jīng)引導(dǎo)到了數(shù)組的首位數(shù)，如果此時(shí)滿足arr[0]==S,那么說(shuō)明能夠湊出S，返回True。如果不相等則說(shuō)明arr中的數(shù)字無(wú)法拼成S，返回False。這兩個(gè)出口條件總結(jié)如下：

if i==0: return arr[0]==S #如果arr[0]==S，說(shuō)明能湊成，返回True；反之則返回False elif S==0: return True

通過(guò)Recursive的方法編寫的python源碼如下：

import numpy as nparr=[3,34,4,12,5,2]def opt(arr,i,S):if S==0 :return Trueelif i==0:return S==arr[i]elif arr[i]>S:return opt(arr,i-1,S)else:A = opt(arr,i-1,S-arr[i])B = opt(arr,i-1,S)return A or B print(opt(arr,len(arr)-1,1))

運(yùn)行后結(jié)果為True，說(shuō)明arr內(nèi)的數(shù)字能夠湊出9。

上面的recursive法雖然解決了這個(gè)問(wèn)題，但由于本質(zhì)是重復(fù)的迭代計(jì)算，隨著數(shù)組復(fù)雜度的增加，運(yùn)算占用資源會(huì)大大上升，速度也會(huì)明顯變慢。在這樣一情況下，我們使用另一種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

def nonrec_opt(arr,S):subset = np.zeros([len(arr),S+1],dtype=bool)subset[0,:]=Falsesubset[:,0]=Trueif arr[0]<S:subset[0,arr[0]]=Truefor i in range(1,len(arr)):for j in range(1,S+1):if arr[i]>j:subset[i,j] = subset[i-1,j]else:A = subset[i-1,j-arr[i]]B = subset[i-1,j]subset[i,j] = A or Bl,w = subset.shapeprint(subset)return subset[l-1,w-1]print(nonrec_opt(arr,9))

運(yùn)行后輸出結(jié)果同樣為True，但該方法中，我們使用numpy創(chuàng)建了一個(gè)數(shù)組，依次計(jì)算并存儲(chǔ)了各個(gè)階段中subset的bool值，避免了前面recursive method中出現(xiàn)的重復(fù)計(jì)算的問(wèn)題。本質(zhì)上，這種辦法相當(dāng)于創(chuàng)建了一個(gè)如下的bool表格：紅圈就是我們最終想要得到的結(jié)果，即`subset(5,9)

Example3. 背包問(wèn)題

題目要求，有以下編號(hào)為1-4的四件物品，他們各自的體積及其所占據(jù)的空間如下表格所示，現(xiàn)有一個(gè)容積為8的背包，如果我們想讓該包中所存放的物品價(jià)值最大，應(yīng)該怎么放？

題目分析：在Example2中，我們分析了湊整問(wèn)題的解決方案，當(dāng)前這個(gè)背包問(wèn)題與湊整問(wèn)題有相似之處但更為復(fù)雜：一點(diǎn)相似之處在于把物品放入背包，相當(dāng)于是一個(gè)條件弱化的湊整問(wèn)題，不需要恰好相等，只需要保證放入物品的總體積小于背包容積即可。不同之處在于，前一個(gè)湊整問(wèn)題的返回值可為布爾量（即0和1），0表示當(dāng)前方案不可行，1表示可以湊出該數(shù)值；本題中不再單純的返回一個(gè)布爾量，而是返回背包內(nèi)物品的總價(jià)值，我們?nèi)∽罱K價(jià)值最高的方案來(lái)當(dāng)作最優(yōu)解。

和Example2一樣的方法，我們首先設(shè)計(jì)表格：

表格中橫軸從0開(kāi)始直至背包體積、縱軸從0開(kāi)始直至物體總數(shù)量。相應(yīng)地，我們?cè)诳v軸的旁表上相應(yīng)物品編號(hào)的屬性。其中，我用S，size來(lái)表示物體體積、V，value表示物品價(jià)值。 首先，我們可以在第一行和第一列全部填上0，因?yàn)樵诒嘲莘e為0和包內(nèi)物品數(shù)量為0的這兩種情況下，包內(nèi)物體的總價(jià)值都是恒為0的。接下來(lái)，我們看編號(hào)為1的這一行，在到橫軸的背包體積達(dá)到2之前，一號(hào)物品始終是放不進(jìn)書包的，故opt(1,1)為0（這個(gè)地方opt表示：當(dāng)物品數(shù)量為1，背包容量為1時(shí)，背包內(nèi)物品的最大總價(jià)值 ，后面還會(huì)常用到）。當(dāng)背包容積為2時(shí)，此時(shí)能夠放進(jìn)第一個(gè)物品，我們有兩種選擇，放入一號(hào)物品或者不放入。此時(shí)的opt(1,2)也就等于這兩種選擇中讓包內(nèi)物品價(jià)值更大的那個(gè)選擇，即opt(1,2)=max( 放入,不放入 )。如果放入，背包體積變?yōu)?-2=0，物品數(shù)量1-1=0，即opt(0,0)再加上第一件物品的價(jià)值，opt(0,0)+3。如果不放，說(shuō)明放棄一號(hào)物品，物品數(shù)量-1，背包容積不變，即opt(0,2)。如下圖：

按照同樣的邏輯，我們可以依次將該表格填下去，而每一次決策（選或不選）均取決于哪一種選擇能帶來(lái)更高的物品總價(jià)值，且總能參考前面已經(jīng)得到的opt值。完成的表格如下，（有時(shí)間了再更新）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的灯神动态规划(Dynamic Programing)学习笔记打劫问题凑整问题背包问题例题+原理+源码超详细讲解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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