方差（Variance)

概率論

離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：??，其中，是變量發(fā)生的概率。

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：?，其中，f(x)是概率密度。

方差值：，證明過程：

? ? ? ? ?假設(shè)：，則,則

? ? ? ? ?

統(tǒng)計學(xué)

?總體方差，也叫做有偏估計，其實就是我們從初高中就學(xué)到的那個標(biāo)準(zhǔn)定義的方差：

，其中，?為總體的均值，?為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，?為總體的樣本數(shù)。

樣本方差，無偏方差，在實際情況中，總體均值是很難得到的，往往通過抽樣來計算，于是有樣本方差，計算公式如下：

或者，其中，?為樣本的均值，?為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，?為樣本的個數(shù)。

此處，為什么要將分母由n變成n-1，主要是為了實現(xiàn)無偏估計減小誤差，具體原理及推導(dǎo)公式可上網(wǎng)查閱，資料很多。

協(xié)方差（Covariance）

? ? ? ??協(xié)方差在概率論和統(tǒng)計學(xué)中用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當(dāng)兩個變量是相同的情況。協(xié)方差表示的是兩個變量的總體的誤差，這與只表示一個變量誤差的方差不同。 如果兩個變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個大于自身的期望值，另外一個也大于自身的期望值，那么兩個變量之間的協(xié)方差就是正值。 如果兩個變量的變化趨勢相反，即其中一個大于自身的期望值，另外一個卻小于自身的期望值，那么兩個變量之間的協(xié)方差就是負值。

其中，與分別為兩個實數(shù)隨機變量與的數(shù)學(xué)期望，為，的協(xié)方差。

標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation)

? ? ? ? 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差,在中文環(huán)境中又常稱均方差，是數(shù)據(jù)偏離均值的平方和平均后的方根，用σ表示。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度，只是由于方差出現(xiàn)了平方項造成量綱的倍數(shù)變化，無法直觀反映出偏離程度，于是出現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。

總體方差

?，其中，?為總體的均值，?為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，?為總體的樣本數(shù)。

樣本方差

，其中，?為樣本的均值，?為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，?為樣本的個數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)誤（Standard error?of mean,SEM或SE)

? ? ? 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤

由固然存在的個體變異和抽樣造成的不同樣本均數(shù)之間的差異、樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差（也稱標(biāo)準(zhǔn)誤），用于反映我們用樣本均數(shù)估計總體均數(shù)有多大的誤差。

若隨機變量均數(shù)為，方差為，則樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）為：。又根據(jù)正態(tài)分布原理，若隨機變量，則樣本均數(shù)。

實際應(yīng)用中，總體標(biāo)準(zhǔn)差通常未知，需要用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計標(biāo)準(zhǔn)誤。此時，均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值為：

標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與原變量的標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本含量的平方根成反比，因此，實際應(yīng)用中可通過增加樣本含量來減少均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，從而降低抽樣誤差。

例：2000年某研究所隨機調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計該樣均數(shù)的抽樣誤差。

注意：標(biāo)準(zhǔn)差描述的是度量值的變化，在此題中，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L，標(biāo)準(zhǔn)誤描述的是估計值的變化，在此題中，標(biāo)準(zhǔn)誤為2.89g/L，隨著樣本量n的增加，標(biāo)準(zhǔn)誤是會減小的，但是標(biāo)準(zhǔn)差是不變的。

樣本頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤

從同一總體中隨機抽出觀察單位相等的多個樣本，樣本率與總體率及各樣本率之間都存在差異，稱為頻率的抽樣誤差。表示樣本頻率抽樣誤差大小的指標(biāo)即為頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤。

根據(jù)二項分布原理，若隨機變量，則樣本頻率的總體概率為，標(biāo)準(zhǔn)誤為。

頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤愈小，用樣本頻率估計總體概率的可靠性愈好；反之，用樣本頻率估計總體概率的可靠性愈差。

實際應(yīng)用中，總體概率通常未知，需要用樣本頻率來近似的代替。得到頻率標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值為：

頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本含量的平方根成反比，因此，增加樣本含量可以減少樣本頻率的抽樣誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤）。

例：某市隨機調(diào)查了50歲以上的中老年婦女776人，其中患有骨質(zhì)酥松癥者322人，患病率為41.5%，試計算該樣本頻率的抽樣誤差。

總體標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值較小，說明用樣本患病率41.5%來估計患病率的可靠性較好。

均方誤差（mean-square error, MSE）

? ? ? ? 均方誤差是反映估計量與被估計量之間差異程度的一種度量，換句話說，參數(shù)估計值與參數(shù)真值之差的平方的期望值。MSE可以評價數(shù)據(jù)的變化程度，MSE的值越小，說明預(yù)測模型描述實驗數(shù)據(jù)具有更好的精確度。

,其中表示估計量，表示被估計量。

均方根誤差（root mean squared error，RMSE）

均方根誤差亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，是均方誤差的算術(shù)平方根。換句話說，是觀測值與真值(或模擬值)偏差(而不是觀測值與其平均值之間的偏差)的平方與觀測次數(shù)n比值的平方根，在實際測量中，觀測次數(shù)n總是有限的，真值只能用最可信賴（最佳）值來代替。標(biāo)準(zhǔn)誤差對一組測量中的特大或特小誤差反映非常敏感，所以，標(biāo)準(zhǔn)誤差能夠很好地反映出測量的精密度。這正是標(biāo)準(zhǔn)誤差在工程測量中廣泛被采用的原因。因此，標(biāo)準(zhǔn)差是用來衡量一組數(shù)自身的離散程度，而均方根誤差是用來衡量觀測值同真值之間的偏差。

?

?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的统计学基础——方差、协方差、标准差（标准偏差/均方差）、标准误、均方误差、均方根误差(标准误差)的区别的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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