【求證】連續時間 $Markov$ 鏈從某一狀態 $i$ 轉移到其他狀態之前在 $i$ 逗留的時間服從指數分布

【證明】因為由https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BF%86%E6%80%A7/59963523?fr=aladdin， 知“具有無記憶性的分布有且僅有兩種分布：對于離散型隨機變量有且僅有幾何分布具有無記憶性，而對于連續型隨機變量有且僅有指數分布具有無記憶性”。所以，針對連續時間 $Markov$ 鏈從某一狀態 $i$ 轉移到其他狀態之前在 $i$ 逗留的時間 ${\tau }_i$，只需證明其具有無記憶性，便可得證其服從指數分布。

注意到：
$\{{\tau }_i>s\}?\{X(u)=i,0<u\le s|X(0)=i\}$
$\{{\tau }_i>s+t\}?\{X(u)=i,0<u\le s,X(v)=i,s<v\le s+t|X(0)=i\}$
則有：
$P\{{\tau }_i>s+t|{\tau }_i>s\}$
$=P\{X(u)=i,0<u\le s,X(v)=i,s<v\le s+t|X(u)=i,0\le u\le s\}$
$=P\{X(v)=i,s<v\le s+t|X(s)=i\}$ （馬爾科夫性）
$=P\{X(u)=i,0<u\le t|X(0)=i\}$
$=P\{{\tau }_i>t\}$

【本文對應的 $Markdown$ 代碼】

【求證】連續時間 $Markov$ 鏈從某一狀態 $i$ 轉移到其他狀態之前在 $i$ 逗留的時間服從指數分布【證明】因為由https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BF%86%E6%80%A7/59963523?fr=aladdin， 知“<font color="red">具有無記憶性的分布有且僅有兩種分布：對于離散型隨機變量有且僅有幾何分布具有無記憶性，而對于連續型隨機變量有且僅有指數分布具有無記憶性</font>”。所以，針對連續時間 $Markov$ 鏈從某一狀態 $i$ 轉移到其他狀態之前在 $i$ 逗留的時間 $\tau_i$，只需證明其具有無記憶性，便可得證其服從指數分布。 注意到： $\{\tau_i \gt s\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s | X(0)=i\}$ $\{\tau_i \gt s+t\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(0)=i\}$ 則有： $P\{\tau_i \gt s+t | \tau_i \gt s\}$ $=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(u)=i,0 \leq u \leq s\}$ $=P\{X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(s)=i\}$ （馬爾科夫性） $=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq t | X(0)=i \}$ $=P\{\tau_i \gt t \}$\

【參考文獻】
https://zhuanlan.zhihu.com/p/369096334
https://baike.baidu.com/item/無記憶性/59963523?fr=aladdin

總結

以上是生活随笔為你收集整理的连续时间 Markov 链从某一状态 i 转移到其他状态之前在 i 逗留的时间服从指数分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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