話說寶刀君這幾年給學弟學妹們輔導自控時，學弟學妹們面對根軌跡，經常是一臉懵逼。

常常是拿到題后，零極點都標出來了，法則也寫出來了，但就是根軌跡畫不出來。

有時好不容易畫出來了，返回去和法則一對照，忍不住仰天長嘆：

我靠，怎么對應不上呀？

藍瘦，香菇！

其實上面描述的情形，大部分學生都存在，而且還不在少數(shù).......

為了拯救學弟學妹們，為了更好地傳播大師前輩們在根軌跡上做出的努力，寶刀君就繼續(xù)拾人牙慧，寫點我的理解，今天給大家奉獻純干貨筆記---深入講解根軌跡的繪制法則！

大家可以對照著看，測測你理解到什么程度。

哦，對了，我使用的教材是盧京潮老師主編，西北工業(yè)大學出版社的《自動控制原理》（第2版），身為西工大的求學一份子，替盧老師宣傳下他的書，主要是確實質量好啊！

好了，言歸正傳，先送上寶刀君的筆記美圖：

還是熟悉的話語，熟悉的字樣，熟悉的公式，可我就是不知道他在說什么，嗚嗚嗚......

上面呢，就是寶刀君手抄的筆記，里面附帶了一些疑問，個人覺得這些疑問就是你在學習時就應該仔細思考的，只要你復習時把這些疑問都搞懂了，那根軌跡學的不會太差。

今天我們就從第一條法則開始，逐句解讀這八大法則，包你看完心情爽歪歪！

先看第1條：根軌跡的起點和終點

這條呢，其實是告訴你根軌跡從哪來，到哪里去？

每一條根軌跡從極點出發(fā)，然后終止于零點或者終止于無窮遠處，然后呢，終止于無窮遠處的根軌跡條數(shù)也給你說了，是n-m條。

說簡單點，就是起源有1處，去向有2處~

再看第2條：根軌跡的分支數(shù)、對稱性、連續(xù)性

這個法則呢，是說你畫的根軌跡有幾條，條數(shù)等于n或者m，誰大取誰。然后你畫的根軌跡是對稱于實軸的，根軌跡線肯定是連續(xù)的，不能畫成斷點的形式。

第3條：實軸上的根軌跡 （這條真重要！）

仔細看筆記上對這條的官方定義，什么叫“若其右邊”？

后邊的那幾個問題你能回答上來幾個？

要想明白這個問題，得先明白這個實軸的區(qū)域是怎么劃分的。

設想一下，給你一個標準型開環(huán)傳遞函數(shù)，就是首1型的傳遞函數(shù)形式，那你就可以立馬確定出他的零極點，然后在復域平面上標出來，落在實軸上的零極點，剛好將實軸從負無窮到正無窮分成了若干個小區(qū)間，那么現(xiàn)在的問題是：實軸上的這些小區(qū)間，哪些是根軌跡經過的？

法則給出了答案，即對于繪制180度的根軌跡來說，只要這個區(qū)間的右邊零極點個數(shù)之和為奇數(shù)，那么這段區(qū)間就是根軌跡。

到這里，又有問題了。

因為我們知道每一個區(qū)間都有左右端點，這里的“若其右邊”，數(shù)數(shù)時，包不包含這個小區(qū)間的右端點呢？

答案是：包含！

舉個栗子，諾，你看筆記里寫的那個開環(huán)傳遞函數(shù)，它沒有零點，只有三個極點，分別是p1=0,p2=-1,p3=-5。

這三個極點將實軸分成了（負無窮，-5]，(-5,-1]，(-1,0]，(0,正無窮）這4個區(qū)間。

現(xiàn)在你給我從左至右，挨個判斷這4個區(qū)間哪個是根軌跡！

好，先從第一個開始，在第一個區(qū)間（負無窮，-5]的右邊有3個極點，分別是-5，-1，0。剛好是奇數(shù)，按照法則，這個區(qū)間（負無窮，-5]是根軌跡。

緊接著判斷第二個區(qū)間(-5,-1]，他的右邊只有-1和0兩個極點，偶數(shù)，不滿足，則不是根軌跡。

接著看(-1,0]，右邊有一個極點0，是奇數(shù)個，則這個區(qū)間是根軌跡。

最后是(0,正無窮）的判斷，右邊為0個零極點，偶數(shù)個，則不是根軌跡。

所以，這個開環(huán)傳遞函數(shù)的實軸上的根軌跡是（負無窮，-5]，[-1,0]。

咳咳，這個法則有什么用？

這用處大了去了！

你想啊！首先你可以在畫出零極點后，立馬畫出極點的指向，確定出位于實軸上的根軌跡呀，其次是將來算完分離點之后，分離點一般是二次方程會求出兩個根，這時候你就可以根據(jù)這條規(guī)則，將那個不在實軸上的根軌跡范圍的 根 給我舍去！

（注意了，我可沒說分離點一定不在實軸上）

哎呀，說完這個，挺累，我喝口水先。

第4條：根軌跡的漸近線

這條呢，記住公式會寫，需要注意的是： 你的角度求出來凡是-180到180度內的，那這些角度都是漸近線的角度，不能落下。

因為是對稱于實軸嘛，所以負180度到180度的也算。

我為什么強調這點呢，原因是看見好多學生做這個時，若n-m=4，好多學生無緣無故的將正負3pai/4給我舍去了！

你有何種理由舍去？？？

第5條：根軌跡的分離點

矮油，這個規(guī)則也是重要的不得了呀！

前面說過，求出分離點后，利用法則3來進行取舍，那怎樣列方程來求？舉例如下，看圖：

看上面這個圖，相信你應該法1就會用了，需要注意的是法1在沒有零點時，右邊要寫成0，沒有零點就寫0嘛，而從我輔導時實際測試學生來看，有些學生不知咋回事給我寫個1 ！！！

看這篇筆記的學生注意啦！希望你別犯這個錯誤！

還剩一個問題沒有解答，方程如何試根？？？

別愁，寶刀君都會給你講的~

它這個分離點呢，是兩個極點在運動相遇后又分離產生的。

所以呢，你現(xiàn)在就要找那些靠的很近的極點。

一般來說，兩個相距很近的極點會產生分離點

你現(xiàn)在仔細看看上圖和對照課本上所有有分離點的圖，看看是不是這個規(guī)律！

因此呢，你挺好了，以后你試根的時候，就先用靠的很近的兩極點的中間值來試，試完1次后，再延續(xù)二分法的思想，繼續(xù)試。

比如介于-1和0時，我先試-0.5，再試-0.55，以此類推，最終使結果越趨近于0越好。

這就是求分離點時試根法的思想！

順便說一句，當你求出分離點時，分離點處那個根軌跡增益Kd*你也順帶著求出來，分離點處的根軌跡增益叫做：臨界阻尼根軌跡增益。

這個往往在寫穩(wěn)定欠阻尼范圍時會用到哦！這里我僅僅拋磚引玉，你可以翻書看看之前碰過這種題型沒。

第6條：根軌跡與虛軸交點

這個法則就是筆記上講的，把s一換，分別令實部虛部等于0就行，雖然也有用勞斯判據(jù)來求的，但個人覺得還是這種代數(shù)方法簡單好求。

對了，根軌跡與虛軸交點處的根軌跡增益K1*有個名字，叫做：臨界穩(wěn)定根軌跡增益。

如果人家讓你求：給出系統(tǒng)在欠阻尼情況下的開環(huán)增益范圍？有些學生直接給出 Kd*<K*<K1*。

真是大錯特錯！！！

看清題了沒？

明白了嗎？

人家問的是開環(huán)增益范圍，所以你還得根據(jù)根軌跡增益和開環(huán)增益的轉換公式，換算開環(huán)增益吶~

第7條：根軌跡的起始角和終止角

講真，這個規(guī)則也不是隨隨便便用的，只有當出現(xiàn)復數(shù)零極點時，才會考慮用此規(guī)則！

很多漂亮的學妹在使用這個規(guī)則時，常常將角度算錯，本來是加的，愣是給弄了個減，這本質是不清楚待求的角度該放在相角條件公式中的哪個位置。

看定義，它說這兩個角度都是通過相角條件求的。

那什么是相角條件？

很簡單，即分子的角度之和減去分母的角度之和=（2K+1）*pai（180度根軌跡）

換句話說，就是零點的角度之和減去極點的角度之和。

好！你先記住這個概念！

起始角指的是從極點出發(fā)的角，終止角指的是終止于零點的角度，那么我們這里可以這樣理解，起始角看成極點角，終止角看成零點角。

那么，接下來你在列式子時，只需要將同類型的角度放在一塊就好了。這樣就可以避免求錯！

第8條：根之和

開環(huán)極點之和=閉環(huán)極點之和。

這個規(guī)則和第7個規(guī)則一樣，不適隨隨便便就能用的，都是有條件的，什么條件？

n-m>2時!

寶刀君在這里叮嚀大家一句話：只要你拿到手的開環(huán)傳遞函數(shù)中分子分母差的階數(shù)太多，那你就要注意啦，很可能要用到根之和法則！！！

建議出現(xiàn)這種情況時，順手寫在旁邊，以防忘記！

這個法則有什么用？

答案是求根！

求什么根？

求某增益對應的其他根，一般是對于一個3階系統(tǒng)，一對復數(shù)根知道后，接下來第3個根可以通過這個法則求（數(shù)學上，n階系統(tǒng)對應n個根，自控里，根就對應的是閉環(huán)極點）。

舉個栗子，前面第6條法則可以求出此時與虛軸的交點。假如是個3階系統(tǒng)，此時題目中問你：求臨界根軌跡增益對應的三個閉環(huán)極點？

好了，此時若滿足根之和法則的應用條件，則可以應用此法則快速的求出第三個根！

為啥是第3個，因為你已經知道了2個了呀！那個與虛軸的交點不就是兩個閉環(huán)極點嘛！

所以公式左側只有1個未知數(shù)，而公式右側的開環(huán)極點之和你也能一步寫出來，因為開環(huán)傳遞函數(shù)你也知道呀，理解了這一點，就知道這個公式咋用了。

寶刀君覺得好多學生不會列式子，其實是概念不清晰，即還是不太理解根軌跡到底是個什么東東？

通俗說一下，根軌跡就是當某一參數(shù)變化時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程所對應的根 隨參數(shù)變化而變化 形成的軌跡。這就類似于數(shù)學上y隨著x的變化而變化，描點畫圖形成的線嘛。

根軌跡上每一個點，對應閉環(huán)特征方程的一個根，對應閉環(huán)系統(tǒng)的某一個極點，這三個是 一 一對應的！

奉上繪制根軌跡的法則的一個匯總表吧，課本上的，看下圖！

以上就是關于繪制根軌跡的所有法則，我想我應該說的很明白了，尤其是從第3條往后。

上面所列的法則，1234基本都有，5678看情況用。

當你繪制完根軌跡后，你要做的就是用繪出來的圖檢驗它是否滿足寫的每個規(guī)則，當然，除非你規(guī)則都算錯、寫錯，那就另當別論了......

說個敏感的問題，考試時根軌跡如何閱卷？

這個呀，看情況了，老師很可能先看你圖畫的對不對，圖不正確的話，那么規(guī)則肯定是錯的，因為你的圖是根據(jù)規(guī)則畫出來的，圖都不對了，看那個規(guī)則有啥用呀，直接0分......相反，圖對了，規(guī)則肯定正確，直接滿分......

當然，也有一些老師比較仁慈，即使你畫錯了，她如果時間還多，估計會看看你前面那幾條，如果有對的，就 酌情 給點分......

這就是酌情的意思

關于根軌跡，如果你有其他的理解角度、新穎想法，歡迎文章下方留言，大家一起學習交流哦

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注：以上圖片截圖來自于電影《三傻大鬧寶萊塢》

也許你還想看：

考研院校專業(yè)課選擇及自動控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（一）

考研院校專業(yè)課選擇及自動控制原理備考的宏觀戰(zhàn)略分析（二）

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關于：考研擺渡人寶刀君（BDJ0501）

工科自動化專業(yè)出身，

除了會 本專業(yè) 自動控制原理，

還鉆研了下 考研數(shù)學

希望我分享的知識點對你的學習有幫助~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab求系统根轨迹代码_要想正确画出根轨迹，先搞清楚这8大法则再说！的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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