歐拉圖-南京大學計算機科學與技術系

歐拉圖

離散數學─圖論初步

南京大學計算機科學與技術系

內容提要

? 歐拉通路/ 回路

? 歐拉圖的充要條件

? 半歐拉圖的充要條件

? 構造歐拉回路的Fleury算法

? 隨機歐拉圖

? 中國郵遞員問題

K?nigsberg七橋問題

? 問題的抽象：

? 用頂點表示對象-“地塊”

? 用邊表示對象之間的關系-“有橋相連”

? 原問題等價于：“右邊的圖中是否存在包含每條邊

一次且恰好一次的回路？”

A A

D D

C

C

B

B

“一筆劃”問題

？

歐拉通路和歐拉回路

? 定義：包含圖 (無向圖或有向圖)中每條邊的簡單通

路稱為歐拉通路。

注意：歐拉通路是簡單通路 (邊不重復)，但頂點可重復

? 定義：包含圖中每條邊的簡單回路稱為歐拉回路。

? 如果圖G 中含歐拉回路，則G稱為歐拉圖。如果圖G 中

有歐拉通路，但沒有歐拉回路，則G稱為半歐拉圖。

//備注：通常假設G是連通的。

歐拉圖中的頂點度數

? 連通圖G是歐拉圖 當且僅當G中每個頂點的度數均

為偶數。

? 證明：

?設C是G中的歐拉回路，則?v ∈VG, d(v)必等于v在C上出

現數的2倍(起點與終點看成出現一次) 。

?可以證明：

(1)G中所有的邊可以分為若干邊不相交的簡單回路。

(2 )這些回路可以串成一個歐拉回路。

全偶度圖中的回路

? 若圖G中任一頂點均為偶度點，則G 中所有的邊包含在若干

邊不相交的簡單回路中。

? 證明：對G的邊數m施歸納法。

? 當m=1, G是環，結論成立。

? 對于k≥1，假設當m≤k時結論成立。

? 考慮m=k+1的情況：注意δ ≥2, G中必含簡單回路，記為

G

C ，令G‘=G-E , 設G’ 中含s個連通分支，顯然，每個連

C

通分支內各點均為偶數(包括0) ，且邊數不大于k 。則根

據歸納假設，每個非平凡的連通分支中所有邊含于沒有

公共邊的簡單回路中，注意各連通分支以及C兩兩均無

公共邊，于是，結論成立。

若干小回路串成歐拉回路

? 若連通圖G中所有的邊包含在若干邊不相交的簡單回路中，

則G中含歐拉回路。

? 證明：對G中簡單回路個數d施歸納法。當d=1時顯然。

? 假設d≤k(k≥1)時結論成立。考慮d=k+1.

? 按某種方式對k+1個簡單回路排序，令G‘=G-E(Ck+1)，設G’

中含s個連通分支，則每個非平凡分支所有的邊包含在相互

沒有公共邊的簡單回路中，且回路個數不大于k 。由歸納假

設，每個非平凡連通分支G 均為歐拉圖，設其歐拉回路是

i

C '。因G連通，故C 與諸C ’都有公共點。

i k+1 i

? G中的歐拉回路構造如下：從C 上任一點(設為v ) 出發遍

總結

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