證明如下：

系數可取值
1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1， k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整數
前n項和為2^k-1,那么最后一項為 n[i]-2^k+1
這些系數之和為n[i],且0--n[i]間的每一個整數均可以用若干個系數的和表示
證明如下：
①先證明區間0..2^k-1, 我們有系數1,2,4...2^(k-1) 即k個數，第k個數的二進制的只有第k位為1
而區間0..2^k-1為二進制第0位到第k-1位是否取值為1的組合，都可以由上面的系數組合得到
②再證明區間2^k..n[i],我們與系數1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1
那么可以由上面的系數組和得到
n[i]-0,n[i]-1,n[i]-2,n[i]-3,n[i]-2^k+1,
那么只要證明n[i]-2^k+1 <2^k,即證明n[i]+1<2^(k+1)
假設n[i]+1>=2^(k+1)成立，即n[i]-2^(k+1)+1>=0成立，
與前面要求的k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整數矛盾，所以假設不成立。
綜合①②，0--n[i]區間的每一個整數均可以用若干個系數的和表示

題目地址：http://poj.org/problem?id=1276

 1 /*
 2 有n件物品和一個容量為v的背包，第i種物品最多有n[i]件可用，
 3 每件費用是c[i],價值是w[i],求解將哪些物品放入背包
 4 使費用總和不超過背包容量且價值總和最大
 5 
 6 for(i=1; i<=n; ++i)
 7 for(j=0; j<=v; ++j)
 8 for(k=0; k*c[i]<=j; ++k)
 9     dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
10 時間復雜度為O(V*∑n[i]);
11 另一種思想是二進制優化,時間復雜度為O(V*∑log(n[i]));
12 詳見圖片
13 */
14 #include <stdio.h>
15 #include <string.h>
16 int cash;
17 int n[11],dk[11];
18 int dp[1000000];
19 inline int max(const int &a, const int &b)
20 {
21     return a < b ? b : a;
22 }
23 void CompletePack(int cost)
24 {
25     for(int i=cost; i<=cash; ++i)
26         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost);
27 }
28 void ZeroOnePack(int cost)
29 {
30     for(int i=cash; i>=cost; --i)
31         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost);
32 }
33 void MultiplePack(int cnt, int cost)
34 {
35     if(cnt*cost >=cash)//如果第i種物品的費用總和超過背包容量，那么就是完全背包問題
36         CompletePack(cost);
37     else
38     {
39         int k = 1;//二進制拆分
40         while(k<cnt)//判斷剩下的數字能不能夠拆分為k
41         {
42             ZeroOnePack(cost*k);
43             cnt -=k;
44             k<<=1;
45         }
46         ZeroOnePack(cnt*cost);
47     }
48 }
49 int main()
50 {
51     int N,i,k,cnt,j;
52     while(scanf("%d%d",&cash,&N)!=EOF)
53     {
54         memset(dp,0,sizeof(dp));
55         for(i=1; i<=N; ++i)
56             scanf("%d%d",&n[i],&dk[i]);
57         for(i=1; i<=N; ++i)
58         {
59             MultiplePack(n[i],dk[i]);
60         }
61         printf("%d
",dp[cash]);
62     }
63     return 0;
64 }

O(VN)算法：待學習

總結

以上是生活随笔為你收集整理的背包九讲之三（多重背包）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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