這是我很久以前寫的一份文檔,現(xiàn)在貼到這里.

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我們討論問題的框架是$\mathbb{\mathbb{R}}^n$.

定義:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb{R}^{n},\mbox{集合}\{q=(q_1,\cdots,q_n)||q_1-p_1|<\varepsilon_1,\cdots,|q_n-p_n|<\varepsilon_n\}$稱為點(diǎn)$p$的$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$-附近.簡記為$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)$.

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定義:對于$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,

1.$p$稱為$S$的內(nèi)點(diǎn),如果存在正實(shí)數(shù)$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S$.

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2.$p$稱為$S$的邊界點(diǎn)，如果對于任意正實(shí)數(shù)$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\not\subseteq S$，且$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S\neq\emptyset$.

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3.$p$稱為$S$的外點(diǎn)，如果存在正實(shí)數(shù)$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S=\emptyset$.

顯然$p$與$S$的關(guān)系有且僅有上述3種關(guān)系之一.

定義:$p$是$S$的聚點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)$p$是$S$的極限點(diǎn).如果屬于點(diǎn)集S的點(diǎn)不是聚點(diǎn)，則稱它為孤立點(diǎn).

可以看到，一個(gè)點(diǎn)集$S$的邊界點(diǎn)$q$,$q$可以屬于$S$，這時(shí)，$q$可能是聚點(diǎn)也可能是孤立點(diǎn),而且只有這兩種可能.$q$可以不屬于$S$,這時(shí)$q$只可能是聚點(diǎn).

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定義:開集的下面兩種定義是等價(jià)的.1.一個(gè)點(diǎn)集，當(dāng)所有屬于它的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)集叫開集.

2.一個(gè)點(diǎn)集，它的所有邊界點(diǎn)都不屬于該點(diǎn)集時(shí)，該點(diǎn)集叫開集.

定義等價(jià)性是顯然的.

定義:$S$是閉集當(dāng)且僅當(dāng)它包含了所有邊界點(diǎn).

顯然一個(gè)點(diǎn)集是閉集的充要條件是該點(diǎn)集包含了該點(diǎn)集的所有聚點(diǎn).平面上的點(diǎn)集并非只有開集和閉集兩種，實(shí)際上，開集和閉集只是兩種極端情況：開集是所有邊界點(diǎn)都不包括，閉集是所有邊界點(diǎn)都包括.而顯然平面上的某些點(diǎn)集只包含它的一部分邊界點(diǎn).

幾個(gè)重要結(jié)論

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定理1:$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,若$S$是開集，則$\mathbb{R}^{n}-S$是閉集.若$S$是閉集，則$\mathbb{R}^{n}-S$是開集.

證明:若$p$是$S$的邊界點(diǎn)，則易得$p$也是$\mathbb{R}^n-S$的邊界點(diǎn).若$q$是$\mathbb{R}^n-S$的邊界點(diǎn)，則$q$也是$S$的邊界點(diǎn).可見，邊界若完全被其中一方擁有，則另一方則完全不擁有，定理得證.當(dāng)然,也可能存在這樣的情況,即 $S$根本沒有邊界點(diǎn),此時(shí) $\mathbb{R}^n-S$也沒有邊界點(diǎn),此時(shí),$S$和$\mathbb{R}^n-S$都是既開又閉的.

定理2:兩個(gè)開集的并集是開集

證明:設(shè)$A$,$B$是開集，$x\in A\bigcup B$,那么$x$不是A的內(nèi)點(diǎn)就是B的內(nèi)點(diǎn),所以總會(huì)是$A\bigcup B$的內(nèi)點(diǎn).

注1:實(shí)際上,無限個(gè)開集的并集也是開集.證明十分容易，可以直接由無限個(gè)集合的并的定義入手：設(shè)$p$是這無限個(gè)開集的并集$K$中的一點(diǎn)，則$p$屬于其中至少一個(gè)開集.設(shè)這個(gè)開集為$A$.則存在正實(shí)數(shù)$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq A\subseteq K\Box$.

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定理3:兩個(gè)閉集的交集是閉集.

證明:以$\mathbb{R}^n$為全集，“兩個(gè)閉集的交集”的補(bǔ)集為“兩個(gè)開集的并集”.而我們知道兩個(gè)開集的并集是開集，所以兩個(gè)閉集的交集是閉集.

定理4:兩個(gè)開集的交集是開集.

注2:無限個(gè)開集的交集不一定是開集.實(shí)例：$(-1,2),(-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}),\cdots,(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}),\cdots$這無限個(gè)開集相交，是閉集$[0,1]$.

證明:兩個(gè)開集$S,K$的交集中的任意一點(diǎn)$p$，必定是其中每一個(gè)開集的內(nèi)點(diǎn).這意味著存在正實(shí)數(shù)$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$和$\delta_1,\cdots,\delta_n$使得
$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S.\mho_{\delta_1,\cdots,\delta_n}(p)\subseteq K.$則\\$\mho_{\min\{\varepsilon_1,\delta_1\},\cdots,\min\{\varepsilon_n,\delta_n\}}(p)\subseteq S\bigcap K$.所以$p$也是$S\bigcap K$的內(nèi)點(diǎn).

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定理5:兩個(gè)閉集的并集是閉集

證明:根據(jù)摩根律，以$\mathbb{R}^n$為全集，則“開集的交集”的補(bǔ)集是“閉集的并集”.因?yàn)殚_集的交集是開集，而開集的補(bǔ)集是閉集.

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注:上面的每句話都可以幾乎一字不變地推廣到一般的度量空間.

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/23/3827732.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的$\mathbb{R}^n$中点集概念梳理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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