矩陣乘法在一些置換問題上有著很好的應用，特別置換次數較多時，采用矩陣快速冪運算可以加快運算過程。

任意一個置換都能夠表示成矩陣的形式。比如，將序列1 2 3 4 置換為 3 1 2 4，相當于以下的矩陣乘法：

一般來說，對于序列1, 2, ..., n，若給出置換方法a₁,a₂,...,a_n，該置換方法表示將原序列的第pi位置上的元素換到第i位置上。

則可以構造置換矩陣P為： P[ai][i]=1 (1<=i<=n)， 其余元素全為0。

顯然，置換矩陣每行只有一個元素為1，其余為0。

另外，構造的置換矩陣都是可逆的，并且它的逆矩陣等于它的轉置矩陣。

【例1】解碼字符串。

給定n個數，代表一個置換。一個長度為n的字符串s經過m次置換后變成另一個字符串t。

例如，輸入5個數：2 3 1 5 4 代表一個置換操作。字符串s為“hello”，經過3次置換操作

"hello" -> "elhol" -> "lhelo" -> "helol"后，可得到字符串t為“helol”。

輸入n、m和結果字符串t，輸出轉換前的原字符串s。

（1）編程思路。

由置換規則 2 3 1 5 4，可以快速構造用于字符串s轉換到t的置換矩陣P。

而從字符串t轉換到s顯然是逆操作，而置換矩陣的逆矩陣就是其轉置矩陣。因此，用于本題的置換矩陣P^T應為：

構造好置換矩陣后，m次操作就是置換矩陣的m次冪，之后再乘以初始序列{1 2 3 4 ....n}，然后輸出相應位置的字符就可以了。

（2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct Matrix
{
int mat[81][81]; // 存儲矩陣中各元素
};
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)
{
Matrix c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
int i,j,k;
for (k = 1; k<=n ; k++)
for (i=1 ;i<=n ; i++)
if (a.mat[i][k]!=0)
for (j = 1 ;j<=n ;j++)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) ;
return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b) // n階矩陣a快速b次冪
{
Matrix c;
memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
int i;
for (i = 1 ;i <= n ;i++)
c.mat[i][i] = 1;
while (b!=0)
{
if (b & 1)
c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;
a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a
b /= 2;
}
return c;
}
int main()
{
int n,m,p[81],i;
Matrix a,b,ans;
char str[82];
while (scanf("%d%d",&n,&m) && n!=0 && m!=0)
{
memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
for (i=1;i<=n;i++)
b.mat[1][i]=i;
memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&p[i]);
a.mat[i][p[i]]=1;
}
getchar();
gets(str);
ans=quickMatPow(a,n,m);
ans=matMul(b,ans,n);
for (i=1;i<=n;i++)
printf("%c",str[ans.mat[1][i]-1]);
printf("
");
}
return 0;
}

將此源程序提交給HDU 2371 “Decode the Strings”，可以Accepted。

【例2】送給圣誕夜的禮品。

已知序列1,2,3,…,n，給出m個置換操作， 例如某個置換操作6 1 3 7 5 2 4，表示把6位置上的元素換到1位置上，1位置上的元素換到2位置上…。

求原序列為1,2,3,……,n的序列按給出的m個置換操作的順序進行k次置換后得到的新序列。若k>m，則第m+1次置換操作做第1個置換操作，第m+2次置換操作做第2個置換操作，…。

數據說明： 1<=n<=100；1<=m<=10；1<=k<=2^31-1。

本題完整的描述可以參看https://vijos.org/p/1049。

（1）編程思路。

搞懂了例1，本題就容易入手了。m 個置換操作需要構造m個置換矩陣。

構造好置換矩陣后，先將m個置換矩陣乘起來，得到ans矩陣，則此時的ans矩陣相當進行了m次操作；再將ans矩陣進行k/m次冪，此時相當進行了k次操作。當然，由于k不一定整除m，因此還需按m個置換操作的順序進行k%m次的置換操作。

（2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct Matrix
{
int mat[101][101]; // 存儲矩陣中各元素
};
Matrix p[11];
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)
{
Matrix c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
int i,j,k;
for (k = 1; k<=n ; k++)
for (i=1 ;i<=n ; i++)
if (a.mat[i][k]!=0)
for (j = 1 ;j<=n ;j++)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) ;
return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b) // n階矩陣a快速b次冪
{
Matrix c;
memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
int i;
for (i = 1 ;i <= n ;i++)
c.mat[i][i] = 1;
while (b!=0)
{
if (b & 1)
c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;
a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a
b /= 2;
}
return c;
}
int main()
{
int n,m,k,i,j,num,a[101];
Matrix ans;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for (i=0;i<m;i++)
{
memset(p[i].mat,0,sizeof(p[i].mat));
for (j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&num);
p[i].mat[j][num]=1; // 構造的置換矩陣
}
}
memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
for (i=1;i<=n;i++)
ans.mat[i][i]=1;
for (i=0;i<m;i++)
ans=matMul(p[i],ans,n); // m個置換矩陣先乘起來，注意是左乘
ans=quickMatPow(ans,n,k/m);
for (i=0;i<k%m;i++)
ans=matMul(p[i],ans,n); // 剩余的k%m個矩陣相乘，代表剩余的k%m次操作
memset(a,0,sizeof(a));
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
a[i]=a[i]+(ans.mat[i][j])*j;
for (i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("
");
return 0;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵乘法（五）：置换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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