Date: 2_19
Name: Guo Yehao
Theme: Optimality with one variable
Reference: 數(shù)學(xué)建模方法與分析(華章)

從單變量最優(yōu)化重談問題分析：分析有哪些變量，變量之間的關(guān)系，我們期待第一步選擇出基礎(chǔ)的變量，它們可以直接的表示為底層的自變量(比如時(shí)間)，然后再將這些基礎(chǔ)變量組合得到我們想要的目標(biāo)，或者是表示出相關(guān)的約束條件。這種分層次的思考和確定函數(shù)(變量)，有利于我們理清問題的要素。

建立起數(shù)學(xué)問題之后，應(yīng)該選擇建模方法。應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究過程，包含確定問題的一般類別，也就是對(duì)所謂建模方法的選擇，我們遇到的大多數(shù)問題，其所蘊(yùn)含的模型通常都有成熟的、或者前人做過的成果，將一個(gè)實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化成若干已有結(jié)論的模型，也是一種本領(lǐng)。因此，我們對(duì)于一個(gè)問題不應(yīng)只靠自己白手起家，而應(yīng)該學(xué)習(xí)借鑒前人的道路，一方面是由于我們的最終目的是解決實(shí)際問題，而不是建立理論(當(dāng)舊的生產(chǎn)工具不能滿足生產(chǎn)現(xiàn)狀時(shí)，我們?cè)侔l(fā)明新的生產(chǎn)工具)；另一方面，也是為了防止我們辛辛苦苦做出來的東西最終卻是別人早已研究過的。

對(duì)靈敏性的更高級(jí)考察(靈敏度系數(shù))：將靈敏性數(shù)據(jù)表示成相對(duì)改變量形式。一方面是對(duì)每個(gè)量單獨(dú)的表示成相對(duì)改變量形式(但不能稱之為靈敏性)，這主要是為了標(biāo)準(zhǔn)化的目的；另一方面是兩個(gè)量之間的相對(duì)改變量，這才是真正的靈敏性，用兩個(gè)量相對(duì)改變量的比值，通過求極限得到含有導(dǎo)數(shù)因子的形式，稱為分子對(duì)分母的靈敏性，它的含義是分母每變化%，分子變化%。

靈敏性分析的應(yīng)用需要有良好的判斷力，不可能也不要求對(duì)每個(gè)參數(shù)求靈敏度系數(shù)。我們需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。

模型穩(wěn)定性：模型即使不完全精確，其導(dǎo)出的結(jié)果仍然是正確的。模型的靈敏性分析是穩(wěn)定性的一種的特例，它所依據(jù)的是對(duì)數(shù)據(jù)的假設(shè)來評(píng)估模型。穩(wěn)健性考慮的是一些其他的假設(shè)，例如假設(shè)的線性關(guān)系，對(duì)模型結(jié)論的影響。

單變量的最優(yōu)化計(jì)算方法：當(dāng)我們寫出函數(shù)表達(dá)式后，求導(dǎo)的過程以及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)方程通常是復(fù)雜的。

• 文章中介紹的第一種最優(yōu)化的方法基于圖形的判斷。不經(jīng)過求導(dǎo)，直接基于函數(shù)表達(dá)式在給定的范圍內(nèi)繪圖，觀察極值點(diǎn)的位置，之后在選定后的范圍內(nèi)，不斷放大圖形，得到更高精確度的點(diǎn)，這種方法方便、快捷。
• 對(duì)于單變量最優(yōu)化，文中給出的第二種方法是數(shù)值方法，準(zhǔn)確而言是牛頓法。我們問題的起源是，求解導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)方程，把問題更一般化一點(diǎn)，是求解方程F(x)=0。對(duì)于它的應(yīng)用分為兩步：
  • 首先是全局方法，確定出方程的近似解，這里的全局化方法指的是圖像法，是最簡(jiǎn)單最實(shí)用的全局方法，通過圖像判斷方程的近似解。
  • 其次是局部快速收斂的方法。基于給定的近似解(迭代的初始點(diǎn))，通過切線近似，迭代求解線性方程，由于可以輕易地寫出通用的迭代表達(dá)式，因此給定迭代次數(shù)(影響我們的求解精度)，通過代碼中的循環(huán)語句就可以輕松實(shí)現(xiàn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数模笔记_单变量最优化的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。