突然今天，我想不起什么是原根來了，查了一下定義，哎~這貨不是離散數(shù)學(xué)，循環(huán)群生成元嗎？？不是$<a_{+}>而是<a_{?}>是乘法而不是加法$
嘛玩意是原根：?

對于素數(shù) p，如果存在一個正整數(shù) 1<a<p，使得 a1,a2,…,ap?1 模 p 的值取遍 1,2,…,p?1 的所有整數(shù)，稱 a 是 p 的一個原根（primitive root），其實就是循環(huán)群的生成元。

$如果aj\equiv ai(modp)，則i\equiv j(modp?1)。這里有兩個例子：$

5是7的原根，因為5–>3–>1–>6–>4–>2–>0，然后開始循環(huán)
2不是7的原根，因為2–>4–>1–>2–>4…，過早的循環(huán)了

說人話：好的

如果g是P的原根，就是$(g^P?1)\equiv 1(modP)$當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)為P-1的時候成立.(這里P是素數(shù)).
即 設(shè)m是正整數(shù)，a是整數(shù)，若a模m的階等于φ(m)，則稱a為模m的一個原根。
φ(m)：這貨是歐拉函數(shù)

定理：

定理一：
設(shè)p是奇素數(shù)，則模p的原根存在； [3]
定理二：
設(shè)g是模p的原根，則g或者g+p是模的原根；
定理三：
設(shè)p是奇素數(shù)，則對任意，模的原根存在；
定理四：
設(shè)1，則g是模的一個原根，則g與g+中的奇數(shù)是模2的一個原根。

性質(zhì)：

性質(zhì)一：
對于任意正整數(shù)a,m,如果(a,m) = 1,存在最小的正整數(shù) d 滿足a^d≡1(mod m)，則有 d 整除 φ(m)，因此Ordm(a)整除φ(m)。這里的d被稱為a模m的階，記為Ordm(a)。
　例如:求3模7的階時，我們僅需要驗證 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余數(shù)即可。
19的原根有2，2-4-8-16-13-7-14-9-。。。。
19的原根就一定有4， 4-16-7-9-。。。。。
有8,16所以也就是說如果一個數(shù)的原根沒有k也就不存在k的冪。

性質(zhì)二：
記δ = Ordm(a)，則a^1，……a(δ-1)模 m 兩兩不同余。因此當(dāng)a是模m的原根時，a⁰a^1，……a(δ-1)構(gòu)成模 m 的簡化剩余系。
性質(zhì)三：
模m有原根的充要條件是
$m=1,2,4,p,2?p,p^n,2?p^n其中p是奇質(zhì)數(shù)，n是任意正整數(shù)。$

性質(zhì)四：
對正整數(shù)(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整數(shù)模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有與 m 互素的正整數(shù)構(gòu)成的等價類構(gòu)成的乘法群）Zn的一個生成元。由于Zn有 φ(m)個元素，而它的生成元的個數(shù)就是它的可逆元個數(shù)，即 φ(φ(m))個，因此當(dāng)模m有原根時，它有φ(φ(m))個原根。
模m有原根的充要條件：

m=2 m=4 m=P^a m=2*P^a

怎么求？

我是笨逼枚舉

將P-1進行質(zhì)因數(shù)分解

枚舉i,并判斷對于每個i是否都有(可以應(yīng)用快速冪)
第一個符合條件的i就是P的最小原根

$對于合數(shù),只要將2.中的p?1替換成\phi (p)即可.$

#include<cstdio> #include<cmath> inline int phi(int n) {int zc=n,all=sqrt(n);for(int i=2;i<=all;i++){if(n%i!=0)continue;zc=zc/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}if(n>1)zc=zc/n*(n-1);return zc; } inline int pow(int x,const int y,const int mod) {int res=1;for(int i=1;i<=y;i<<=1,x=x*x%mod)if(i&y)res=res*x%mod;return res; } inline int G(const int m) {const int PHI=phi(m);for(int g=2;;g++){bool fla=1;if(pow(g,PHI,m)!=1)continue;for(int i=1;i<PHI;i++)if(pow(g,i,m)==1){fla=0;break;}if(fla)return g;} } int m,g; int main() {scanf("%d",&m);g=G(m);printf("%d",g);return 0; }

在上面的代碼中，容易發(fā)現(xiàn)，枚舉的i并不是每個每個都有用的， 由性質(zhì)1可得 枚舉i只需要枚舉φ(m)的因數(shù)就好了

#include<cstdio> #include<cmath> inline int phi(int n) {int zc=n,all=sqrt(n);for(int i=2;i<=all;i++){if(n%i!=0)continue;zc=zc/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}if(n>1)zc=zc/n*(n-1);return zc; } inline int pow(int x,const int y,const int mod) {int res=1;for(int i=1;i<=y;i<<=1,x=(long long)x*x%mod)if(i&y)res=(long long)res*x%mod;return res; } int q[200001]; inline int G(const int m) {const int PHI=phi(m);q[0]=0;for(int i=2;i<PHI;i++)if(PHI%i==0)q[++q[0]]=i;for(int g=2;;g++){bool fla=1;if(pow(g,PHI,m)!=1)continue;for(int i=1;i<=q[0];i++)if(pow(g,q[i],m)==1){fla=0;break;}if(fla)return g;} } int m,g; int main() {scanf("%d",&m);g=G(m);printf("%d",g);return 0; }

最快的代碼：

#include<cstdio> #include<cmath> inline int phi(int n) {int zc=n,all=sqrt(n);for(int i=2;i<=all;i++){if(n%i!=0)continue;zc=zc/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}if(n>1)zc=zc/n*(n-1);return zc; } inline int pow(int x,const int y,const int mod) {int res=1;for(int i=1;i<=y;i<<=1,x=(long long)x*x%mod)if(i&y)res=(long long)res*x%mod;return res; } int q[100001]; inline int G(const int m) {const int PHI=phi(m);q[0]=0;const int limit=sqrt(PHI);int zc=PHI;for(int i=2;i<=limit;i++)if(zc%i==0){q[++q[0]]=PHI/i;while(zc%i==0)zc/=i;}if(zc>1)zc=q[++q[0]]=PHI/zc;for(int g=2;;g++){bool fla=1;if(pow(g,PHI,m)!=1)continue;for(int i=1;i<=q[0];i++)if(pow(g,q[i],m)==1){fla=0;break;}if(fla)return g;} } int m,g; int main() {scanf("%d",&m);g=G(m);printf("%d",g);return 0; }

代碼怕寫錯，參考了一下。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学--数论--原根(循环群生成元）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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