一、預(yù)備知識(shí)（補(bǔ)碼，反碼）

計(jì)算機(jī)通過二進(jìn)制表示整形數(shù)，比如int型32位有符號(hào)整形數(shù)：
1表示為：0000…00001(共32位）
-1表示為：1111…1111(共32位）
補(bǔ)碼計(jì)算法定義：非負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是其原碼本身；
負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是其絕對(duì)值的原碼最高位符號(hào)位不變，其它位取反，再加1。
表示原因：計(jì)算機(jī)邏輯運(yùn)算沒有減法，-1+1最高為溢出，剩余0000000000（32位）即為0；
則有a-b=a+b的（補(bǔ)碼）；
計(jì)算方式：
-1表示原碼為100…0001(32位），最高位位符號(hào)位。
-1的反碼表示為：1111…110(32位），除符號(hào)位按位取反。
-1的補(bǔ)碼表示為：1111…1111(32位），反碼+1。
正數(shù)的補(bǔ)碼為自己本身。
例子：
100的補(bǔ)碼?00000000000000000001100100?
-30的補(bǔ)碼 11111111111111111111111100010?
100+（-30）=000000000000000000?01000110?
轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制為70；

二、基本操作

1、按位與(&)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行與運(yùn)算。只有當(dāng)相應(yīng)位上的數(shù)都是1時(shí)，該位才取1，否則該為為0。

將10與-10進(jìn)行按位與(&)運(yùn)算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

0000 0000 0000 0010

所以：10 & -10 = 0000 0000 0000 0010
2、按位或(|)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行或運(yùn)算。只要相應(yīng)位上存在1，那么該位就取1，均不為1，即為0。

將10與-10進(jìn)行按位或(|)運(yùn)算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

1111 1111 1111 1110

所以：10 | -10 = 1111 1111 1111 1110
3、按位異或(^)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行異或運(yùn)算。只有當(dāng)相應(yīng)位上的數(shù)字不相同時(shí)，該為才取1，若相同，即為0。

將10與-10進(jìn)行按位異或(^)運(yùn)算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

1111 1111 1111 1100

所以：10 ^ -10 = 1111 1111 1111 1100
可以看出，任何數(shù)與0異或，結(jié)果都是其本身。利用異或還可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)很好的交換算法，用于交換兩個(gè)數(shù)，算法如下：

a = a ^ b;
b = b ^ a;
a = a ^ b;

4、取反(~)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行取反運(yùn)算。每個(gè)位上都取相反值，1變成0，0變成1。
對(duì)10進(jìn)行取反(~)運(yùn)算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0101

所以：~10 = 1111 1111 1111 0101
5、左移(<<)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行左移運(yùn)算，用來將一個(gè)數(shù)各二進(jìn)制位全部向左移動(dòng)若干位。

對(duì)10左移2位(就相當(dāng)于在右邊加2個(gè)0)：

0000 0000 0000 1010

0000 0000 0010 1000

所以：10 << 2 = 0000 0000 0010 1000 = 40
注意，觀察可以發(fā)現(xiàn)，左移一位的結(jié)果就是原值乘2，左移兩位的結(jié)果就是原值乘4。

6、右移(>>)

參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)，換算為二進(jìn)制(0、1)后，進(jìn)行右移運(yùn)算，用來將一個(gè)數(shù)各二進(jìn)制位全部向右移動(dòng)若干位。

對(duì)10右移2位(就相當(dāng)于在左邊加2個(gè)0)：

0000 0000 0000 1010

0000 0000 0000 0010

所以：10 >> 2 = 0000 0000 0000 0010 = 2
注意，觀察可以發(fā)現(xiàn)，右移一位的結(jié)果就是原值除2，左移兩位的結(jié)果就是原值除4，注意哦，除了以后沒有小數(shù)位的，都是取整。

三、延伸操作

1.快速冪（快速模冪）
①求a^b:

int pow(int a, int k) { int ans = 1;while(k) {if(k &1) ans *= a; //判斷奇偶只用判斷最后一位比取模快a *= a;k >>=1; //比除法快多了}return ans; }

②求a^b%p

int pow_mod(int a, int k,int mod) { int ans = 1%mod;while(k) {if(k &1) ans =(long long) ans*a%mod; //防止在對(duì)P取模前溢出a = (long long)a*a%mod;k >>=1; //比除法快多了}return ans;}

例題：BZOJ1008
2.快速乘法
方法①

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {long long ans=0;while(b){if(b&1) ans=(ans+a)%mod;a=(a+a)%mod; //（計(jì)算機(jī)加法比乘法快，a+a比a*2快）b>>=1;}return ans; }

方法②：高效算法

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {a%=mod;b%=mod;long long ans=0;while(b){if(b&1){ans+=a;if(ans>=mod)ans-=mod;}b>>=1;a<<=1;if(a>=mod) a-=mod;}return ans; }

方法③：使用long double優(yōu)化版

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {a%=mod;b%=mod;long long c=(long double) a*b/mod;long long ans=a*b-c*mod;if(ans<0) ans+=mod;else if(ans>=mod) ans-=mod;return ans}

在這里僅提到部分操作，在ACM學(xué)習(xí)中，還有更多的操作可以用位運(yùn)算。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的疯子的算法总结(一) 位运算（快速幂、快速乘）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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