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小波變換的基本思想是用一組小波函數(shù)或者基函數(shù)表示一個函數(shù)或者信號，例如圖像信號。為了理解什么是小波變換，下面用一個具體的例子來說明小波變換的過程。

1. 求有限信號的均值和差值

???[例] 假設(shè)有一幅分辨率只有4個像素?的一維圖像，對應(yīng)的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)分別為：?
??????????????????[9 ?7 ?3 ?5]
?計算它的哈爾小波變換系數(shù)。

計算步驟如下：
????步驟1：求均值(averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數(shù)目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應(yīng)的像素值為：

????????????[8 4]

步驟2：求差值(differencing)。很明顯，用2個像素表示這幅圖像時，圖像的信息已經(jīng)部分丟失。為了能夠從由2個像素組成的圖像重構(gòu)出由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)(detail coefficient)，以便在重構(gòu)時找回丟失的信息。方法是把像素對的第一個像素值減去這個像素對的平均值，或者使用這個像素對的差值除以2。在這個例子中，第一個細(xì)節(jié)系數(shù)是(9-8)=1，因為計算得到的平均值是8,它比9小1而比7大1，存儲這個細(xì)節(jié)系數(shù)就可以恢復(fù)原始圖像的前兩個像素值。使用同樣的方法，第二個細(xì)節(jié)系數(shù)是(3-4)=-1，存儲這個細(xì)節(jié)系數(shù)就可以恢復(fù)后2個像素值。因此，原始圖像就可以用下面的兩個平均值和兩個細(xì)節(jié)系數(shù)表示，

???????????????[8 4 1 -1]

步驟3：重復(fù)第1，2步，把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。在這個例子中，分解到最后，就用一個像素的平均值6和三個細(xì)節(jié)系數(shù)2,1和-1表示整幅圖像。

???????????????[6??2??1??-1]

這個分解過程如表8-1所示。

表8-1?哈爾變換過程

分辨率	平均值	細(xì)節(jié)系數(shù)
4	[9??7??3??5]	?
2	[8??4]	[1??-1]
1	[6]	[2]

?

????由此可見，通過上述分解就把由4像素組成的一幅圖像用一個平均像素值和三個細(xì)節(jié)系數(shù)表示，這個過程就叫做哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)。這個概念可以推廣到使用其他小波基的變換。
????從這個例子中我們可以看到：
??① 變換過程中沒有丟失信息，因為能夠從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。
??② 對這個給定的變換，我們可以從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。例如，在分辨率為1的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為2的圖像，在分辨率為2的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為4的圖像。
??③ 通過變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，這就為圖像壓縮提供了一種途徑，例如去掉一些微不足道的細(xì)節(jié)系數(shù)并不影響對重構(gòu)圖像的理解。

?

圖1 是Haar 小波對二維圖像的一級及三級分解子帶圖, 在右圖中最低頻a3 子帶圖像與原始圖像極其相似, 只是尺寸變小, 它包含了原圖的絕大部分能量,對恢復(fù)圖像質(zhì)量影響較大, 其余高頻子帶的小波系數(shù)大多非常小。在同一層, 由于v 及h 子圖表示的邊緣子圖像的小波系數(shù)和方差比d 子圖要大, 因此d 子圖在重構(gòu)圖像時不是很重要[4 ]。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一维的Haar小波变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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