第九章 列联分析
列聯分析主要用于分類數據的分析
1 分類數據與列聯表
1 分類數據
如：完整家庭/離異家庭、一等品/二等品、三等品……
2 列聯表的構造
列聯表是由兩個以上的變量進行交叉分類的頻數分布表。
3 列聯表的分布
列聯表的分布可以從兩個方便來看：一個是觀察值的分布；一個是期望值的分布。
(1)觀察值
條件頻數、行邊緣頻數、列邊緣頻數、百分比
(2)期望值分布
根據比例求出的各個變量的期望值
以四個公司對改革方案的贊成/反對為例，若全部樣本為420（100+120+90+110），贊成改革方案的有279，占總數的66.4%。如果各公司對改革方案的看法相同，則對一公司來說，贊成該方案的人數應當為：0.664*100=66人，期望值與觀察值應非常相近。
對于π?1?=π?2?=π?3?=π?4?=0.664(π?i??為第i?個公司贊成改革方案的百分比)，可以采用χ 2 檢驗。
一般情況下，任何一個單元中頻數的期望值：
f?e?=RTn?×CTn?×n=RT×CTn??
其中：RT為給定單元格所在行的合計，CT為給定單元格所在列的合計，n為觀察值總個數，即樣本容量。
2 χ?2??檢驗
若用f?o??表示觀察值頻數，用f?e??表示期望值頻數，χ?2??統計量可為：
χ?2?=∑(f?o??f?e?)?2?f?e???
步驟：(1) H?0?:?不存在差異 H?1?:?存在差異
(2) 計算統計量值和臨界值
χ?2??分布的自由度為(行數-1)(列數-1)
(3) 比較統計量值和臨界值大小，做出是否拒絕原假設的決策
3 列聯表中的相關測量
在上面利用χ?2??分布對兩個分類變量之間的相關性進行統計檢驗。如果變量相互獨立，說明它們之間沒有聯系；反之，則認為它們之間存在聯系。如果存在聯系，它們之間的相關程度多大？
把分類數據之間的相關稱為品質相關。
1 φ?相關系數
φ?相關系數是描述2×?2列聯表數據相關程度最常用的一種相關系數，計算公式為：
φ=χ?2?/n??????????√??
此時φ?系數的取值范圍是在0～?1之間，且φ?的絕對值越大，說明變量的相關程度越大。但當列聯表的行數R或列數C大于2時，φ?系數將隨著R或C的變動而增大，且φ?值沒有上線，這是φ?系數測定兩個變量的相關程度，可以采用列聯相關系數。
2 列聯相關系數
列聯相關系數又稱列聯系數，簡稱c?系數，主要用于大于2× 2列聯表的情況，計算公式為:
c=χ?2?χ?2?+n???????????????√??
特點：相互獨立時，系數為0，不可能大于1，其可能的最大值依賴于列聯表的行數和列數，且隨著R和C的增大和增大。
缺點：根據不同的行和列計算的列聯系數不便于比較，除非兩個兩個列聯表中的行數和列數一致。
3 V?相關系數
鑒于φ 系數無上限，c?系數小于1的情況，克萊默提出了V 系數，計算公式為：
V=χ?2?n×min[(R?1),(C?1)]?????????????????????????????????????????????√??
V?的取值在0～ 1之間
4 數值分析
在描述相關程度究竟有多高時，可以比較計算出的相關系數與此相關系數的最大值，以看出相關程度的高低。
4 列聯分析中應注意的問題
1 條件百分表的方向
一般來說，在列聯表中變量的位置是任意的。如果變量X和Y存在因果關系，令X為自變量，Y為因變量，那么一般把自變量X放在列位置，條件百分比也多按自變量的方向計算。但也有例外情況。
2 χ?2??分布的期望值準則
利用χ?2??分布進行獨立性檢驗，要求樣本量必須足夠大，特別是每個單元中的期望頻數（理論頻數）不能過小，否則應用χ?2??檢驗可能會得出錯誤結論。
關于小單元次數通常有兩項準則：
(一) 如果只有兩個單元，每個單元的期望頻數必須是5或5以上
(二) 倘若有兩個以上單元，如果20%的單元期望頻率f?e??小于5，則不能應用χ?2??檢驗
總結
