1 統計量

統計量：由樣本構造一個函數，不依賴任何參數
常用統計量：樣本均值（X?ˉ??）、樣本方差（S?2??）、樣本變異系數（V=SX?ˉ???）、樣本k階距、樣本k階中心距、樣本偏度、樣本峰度
次序統計量：樣本極差（最大值減最小值）
充分統計量：統計量加工過程中一點信息都不損失的統計量。判別定理：因子分解定理

2 由正態分布導出的幾個重要分布

1 χ?2??分布

設隨機變量X?1?，X?2?，...,X?n??相互獨立，且X?i?(i?1,2,...,n)?服從標準正態分布N(0,1)?，則它們的平方和∑?n?i=1?X?2?i??服從自由度為n?的χ 2  分布。
E(χ?2?)=n;D(χ?2?)=2n?
χ?2??分布具有可加性，即若χ?2?1?～χ?2?(n?1?),χ?2?2?～χ?2?(n?2?)?，且獨立，則
χ?1?1?+χ?2?2?～χ?2?(n?1?)+χ?2?(n?2?)?
χ?2??的密度函數如下圖所示：

2 t?分布

設隨機變量X～N(0,1),Y～χ 2 (n) ，且X?與Y 獨立，則
t=XY/n??????????√???
稱為t?分布，記為t(n) ,其中n?為自由度。
當n≥2 時，t?分布的數學期望E(t)=0 
當n≥3?時，t?分布的方差D(t)=nn?2  
t?的密度函數如下圖所示：

3 F 分布

設隨機變量Y?與Z 相互獨立，且Y?和Z 分別服從自由度為m?和n 的χ?2??分布，隨機變量X?有如下表達式：
X=Y/mZ/n =nYmZ  
則稱X?服從第一自由度為m ，第二自由度為n?的F 分布 ，記為F(m,n)?
E(X)=nn=2?,n>2?
D(X)=2n?2?(m+n?2)m(n?2(n?4))?,n>4?
F?的密度函數如下圖所示：

如果隨機變量X 服從t(n)?，則X?2??服從F(1,n)的F?分布。這在回歸分析的回歸系數檢驗中有用。

3 樣本均值的分布于中心極限定理

當總體分布為正態分布N(μ,σ 2 ) 時，則X?ˉ??的抽樣分布仍為正態分布，期望為μ?，方差為σ?2?/n?。這說明用樣本均值X?ˉ??去估計總體均值μ?時，平均來說沒有偏差（無偏性）；當n?越來越大時，X ˉ  的散布程度越來越小，即用X?ˉ??估計mu?越來越準確。
實際情況中，總體的分布不總是正態分布或近似正態分布，此時X?ˉ??的分布也將取決于總體分布情況?！行臉O限定理
中心極限定理：設從均值為μ?、方差為σ?2??（有限）的任意一個總體總抽取樣本量為n?的樣本，當n 充分大時，樣本均值X?ˉ??的抽樣分布近似服從為均值為μ?、方差為σ?2?/n?的正態分布。
注意：什么是當n充分大呢？大樣本、小樣本之間的區分并不是以樣本容量大小來區分的。在樣本容量固定的條件下所進行的統計推斷、問題分析，不管樣本容量有多大，都稱為小樣本問題，而在樣本容量n—>∞的條件下所進行的統計推斷、問題分析則稱為大樣本問題。一般統計學中的n≥30為大樣本，n<30為小樣本只是一直經驗說法。

4 樣本比例的抽樣分布

如果在樣本大小為n的樣本中具有某一特征的個體數為X?，則樣本比例用p 表示：p=X/n?
則可以用樣本比例p?來估計總體比例π 。
當n?充分大時，p ^  的分布可用正態分布去逼近，此時，p?^??服從均值為π?、方差為π(1?π)n??的正態分布，則
p?^?～N(π,π(1?π)n?)?

5 兩個樣本平均值之差的分布

設X?1??ˉ??是獨立地抽自總體X?1?～N(μ?1?,σ?2?1?)?的一個容量為n?1??的樣本的均值，X?2??ˉ??是獨立地抽自總體X?1?～N(μ?2?,σ?2?2?)?的一個容量為n?2??的樣本的均值，則有
E(X?1??X?2?)=μ?1??μ?2??
D(X?1??X?2?)=σ?2?1?n?1??+σ?2?2?n?2???
如果兩個總體均為正態分布，則X?1??X?2??也為正態分布；當n?1??和n?2??比較大時，一般要求n1≥30,n2≥30?，則X?1??X?2??的抽樣分布不管總體分布如何均可用正態分布來近似。

6 關于樣本方差的分布

1樣本方差的分布

設X?1?,X?2?,...,X?n??為來自正態分布的樣本，則可以推出：
設總體分布為N(μ,σ?2?)?的正態分布，則樣本方差S?2??的分布為：
(n?1)S?2?/σ?2?～χ?2?(n?1)?

2 兩個樣本方差比的分布

設X?1?,X?2?,...,X?n?1???為來自正態總體N(μ?1?,σ?2?1?)?的一個樣本，Y?1?,Y?2?,...,Y?n?1???為來自正態總體N(μ?2?,σ?2?2?)?的一個樣本，且X?i??與Y?i??相互獨立，則
S?2?x?/S?2?y?σ?2?1?/σ?2?2??=S?2?x?/σ?2?1?S?2?y?/σ?2?2??～F(n?1??1,n?2??1)?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第六章 统计量及其抽样分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。