1 時間序列與隨機過程

隨機變量序列Y?t?:t=0,±1,±2,±3,...?稱為一個隨機過程，并以之作為觀測時間序列的模型。

2 均值、方差和協方差

對隨機過程Y?t?:t=0,±1,±2,±3,...?，均值函數定義如下：
μ?t?=E(Y?t?),t=0,±1,±2,...?
即μ?t??恰是過程在t?時刻的期望值。
自協方差函數γ t,s  定義如下：
γ?t,s?=Cov(Y?t?,Y?s?),t,s=0,±1,±2,..?
其中Cov(Y?t?,Y?s?)=E[(Y?t??μ?t?)(Y?s??μ?s?)]?
自相關函數ρ?t,s??定義如下：
ρ?t,s?=Corr(Y?t?,Y?s?),t,s=0,±1,±2,..?
其中：Corr(Y?t?,Y?s?)=Cov(Y?t?,Y?s?)Var(Y?t?)Var(Y?s?)????????????????????????????√???

1 隨機游動

令e?1?,e?2?,...?為均值為0，方差是σ?ι??2??的獨立同分布的隨機變量序列，觀測時間序列Y?t?:t=1,2,...?構造如下：
Y?t?=Y?t?1?+e?t??,初始條件為Y?1?=e?1??
注：隨著時間推移，均值不變，方差隨著時間線性增長，相鄰時點上Y值的正相關程度越來越強。

2 滑動平均

假設構造Y?t??如下：
Y?t?=e?t?+e?t?1?2??
可證明對所有的t?,都有ρ t,t?k  相等。進而引出平穩性概念。

3 平穩性

1 平穩性

平穩性的基本思想：決定過程特性的統計規律不隨時間的變化而變化。從一定意義上說，過程位于統計的平衡點上。
如果對一切時滯k?和時點t 1 ,t 2 ,...,t n  都有Y?t?1??,Y?t?2??,...,Y?t?n???與Y?t?1?k??,Y?t?2?k??,...,Y?t?n?k???的聯合分布相同，則程過程Y?t??為嚴平穩的。
一個隨機過程Y?t??稱為弱（二階矩）平穩的條件是：
1. 均值函數在所有時間上恒為常數
2. γ?t,t?k?=γ?t0,k??,對所有的時間t?和滯后k 

2 白噪聲

定義為獨立同分布的隨機變量序列e?t??，是嚴平穩的。
假設白噪聲過程具有0均值，且記方差為σ?ι??2??

3 隨機余弦波

定義一個過程：
Y?t?=cos[2π(t12?+Θ)]t=0,±1,±2,...?
其中的Θ?(一次性)選自區間0到1上的均勻分布
根據均值和方差，可證明該過程也是平穩的。
綜上：對于給定時間序列，僅基于觀測數據的時間序列圖難以評估平穩性是否為一個合理假設。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1 时间序列基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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