作者：桂。

時間：2017-09-09 ?12:48:45

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一、復數相乘

可以表示為分塊的形式：

二、范數

　　A-范數基本定義

p = 0，0范數，對應非零元素個數；

p = 1，1范數，也成和范數；

p = 2，常稱為Euclidean范數，也成Frobenius范數

p = ∞， 無窮范數，也稱極大范數。

直接定義p，則p范數或Minkowski p范數，也叫Holder范數。

　　B-其他常用范數

1-譜范數（spectrum norm）

其中是矩陣A的最大奇異值，即最大特征值的正平方根。

譜范數也稱最大奇異值范數或者算子范數（operator norm）。

2-Mahalanobis范數

其中是正定矩陣。

三、矩陣的跡

　　A-跡的一般性質

跡等于特征值之和：

而根據SVD分解特性（PCA、KL變換均有用到），可知特征值體現的是能量，故矩陣的跡可以與Euclidean范數建立聯系：

　　B-跡的其他特性

其實矩陣的跡，借助矩陣分解來理解會容易很多，跡的其他特性：

由于1標量可以，其本身看作與跡等價，從而有（tr(AB)=tr(BA)、對角和=跡，借助這兩條性質可證）：

　　C-跡的微分特性

1）若W是mxm的矩陣：

2）若W可逆：

?

3）對于矩陣W、A，有

4）若W非奇異，

5）對于矩陣W、A：

6）對于矩陣W、A、B，且W非奇異：

?

四、行列式

?給出行列式定義：

對于一個三角矩陣A：

另外，

五、矩陣求逆

　　A-矩陣求逆基本性質

若A\B\C可逆：

若A為對角陣：

若A非奇異：

　　B-矩陣求逆引理

求逆引理，也稱Sherman-Morrison公式：若A是一個nxn的可逆矩陣，且x和y是兩個nx1的向量，使得 可逆，則：

該引理可進一步推廣為矩陣之和的求逆公式：

簡化的形式：

分塊矩陣求逆：

1）若A可逆：

2）若A、D均可逆：

　　C-廣義逆矩陣

廣義逆矩陣參考之前的博文。

六、Hadamard積與Kronecker積

　　A-矩陣的直和

mxm的矩陣A與nxn的矩陣B，其直和記作：，它是一個(m+n)x(m+n)的矩陣，

　　B-Hadamard積

Hadamard積其實就是對應元素相乘。

兩個mxn的矩陣、，其Hadamard積記作：，

　　C-Kronecker積

Kronecker積表示的是矩陣元素與另一矩陣相乘的運算，用表示。

?1）右Kronecker積：mxn矩陣A和pxq的矩陣B：

?2）左Kronecker積：mxn矩陣A和pxq的矩陣B：

其中同樣可以寫為。

七、矩陣梯度

一個基本形式是：

借助該形式，即可完成一般的梯度求解：

?同時，結合梯度的四個基本法則，便可完成常用的梯度求解。

1）線性法則

2）乘積法則

3）商法則

4）鏈式法則

總結

以上是生活随笔為你收集整理的常用矩阵运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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