1. 補(bǔ)碼

Two's Complement（二補(bǔ)數(shù)、補(bǔ)碼）是對二進(jìn)制數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算過程為：對二進(jìn)制序列每一位取反（0->1; 1->0），再加1。

bits取反補(bǔ)碼

011	100	101
010	101	110
111	000	001

2. 計(jì)算機(jī)中有符號數(shù)的表示

計(jì)算機(jī)中的數(shù)值類型分為整數(shù)型和浮點(diǎn)數(shù)型，有符號數(shù)在最高位設(shè)置符號位，其余低位均為數(shù)值位。數(shù)值位一律采用補(bǔ)碼形式存儲，并參與計(jì)算。采用補(bǔ)碼的形式表示有符號數(shù)至少有兩大好處。

• 符號位和數(shù)值位統(tǒng)一參與運(yùn)算，不用區(qū)分正、負(fù)，加法和減法實(shí)現(xiàn)簡單；
• 數(shù)據(jù)的原碼和補(bǔ)碼之間的相互轉(zhuǎn)換不需要依賴額外硬件電路。

下面分別介紹有符號數(shù)的表示方法

2.1 整數(shù)

正整數(shù)

正整數(shù)的補(bǔ)碼是其二進(jìn)制表示，與原碼相同。
例如，在整數(shù)類型占用4字節(jié)（32位）的系統(tǒng)中，+5的補(bǔ)碼是00000000 00000000 00000000 00000101。最高位0表示該數(shù)值為正數(shù)，其余31位表示數(shù)值大小。

負(fù)整數(shù)

負(fù)整數(shù)的補(bǔ)碼需要對其絕對值的二進(jìn)制表示進(jìn)行補(bǔ)碼運(yùn)算。
例如，-5的補(bǔ)碼是11111111 11111111 11111111 11111011。最高位為1，表示該數(shù)值為負(fù)數(shù)，其余31位表示數(shù)值大小。

在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，CPU并不會區(qū)分是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，而是直接進(jìn)行計(jì)算，這正是前面介紹的符號位和數(shù)值位的統(tǒng)一。
例如，a=10, b=-5，則a+b的運(yùn)算過程如下：

00000000 00000000 00000000 00001010 (10) + 11111111 11111111 11111111 11111011 (-5) ===========================================00000000 00000000 00000000 00000101 (5)

如果，a=1, b=5，則a-b首先轉(zhuǎn)換成加法a+(-b)，再進(jìn)行計(jì)算，過程如下：

a-b ==> a+(-b)00000000 00000000 00000000 00000001 (1) + 11111111 11111111 11111111 11110110 (-10) ===========================================11111111 11111111 11111111 11110111 (-9)

對于正整數(shù)（最高位為1），將非符號位的二進(jìn)制位直接轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，就表示該正數(shù)的實(shí)際大小。如果一個(gè)數(shù)是負(fù)整數(shù)，如何將其補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制大小呢？補(bǔ)碼運(yùn)算即可。
例如上面的11111111 11111111 11111111 11110111，最高位符號位是1，所以該數(shù)為負(fù)數(shù)，補(bǔ)碼運(yùn)算之后為00000000 00000000 00000000 00001001，大小為9，所以表示-9。

2.2 浮點(diǎn)數(shù)

pass

3. 為什么是補(bǔ)碼？

為什么兩個(gè)數(shù)相減a-b用補(bǔ)碼形式a+(-b)進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果是正確的？不妨看一下對b進(jìn)行補(bǔ)碼的過程絕對值的二進(jìn)制序列取反，再加1。取反在計(jì)算機(jī)的邏輯電路中就是開關(guān)的閉合狀態(tài)取反即可，即1->0，0->1。如果用數(shù)學(xué)算式表達(dá)的話，對一個(gè)bit位b的取反運(yùn)算可以寫成

取反b = 1-b （*） b=0時(shí)，取反b為1，1-b=1； b=1時(shí)，取反b為0，1-b=0； 所以算是(*)可以表達(dá)取反運(yùn)算

綜上，a-b的計(jì)算過程可表達(dá)為(8bit為例)

a-b == a+(-b) == a+(11111111-b+1) == a+(b的補(bǔ)碼形式) 在8bit系統(tǒng)中，11111111 + 1 == 00000000，溢出。 所以，a+(11111111-b+1) = a+(0-b) = a - b

可以看出，補(bǔ)碼運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)效果巧妙地利用了因計(jì)算機(jī)系統(tǒng)位數(shù)限制而產(chǎn)生的溢出現(xiàn)象。

4. 一個(gè)C++面試題

下面代碼打印多少？

#include <iostream>

int main(int argc, char **argv)
{
std::cout << 25u - 50;
return 0;
}

答案是4294967271。

25u是unsigned int類型，50為int類型。在這兩種操作數(shù)進(jìn)行-運(yùn)算時(shí)，int被提升為unsigned int型，運(yùn)算變?yōu)?5u - 50u，結(jié)果也應(yīng)該是unsigned int類型。經(jīng)過對-50u進(jìn)行補(bǔ)碼運(yùn)算后帶入加法運(yùn)算，-25的二進(jìn)制表示形式被存入內(nèi)存，即11111111 11111111 11111111 11100111（int為32位），在打印時(shí)按無符號數(shù)處理，則直接轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制正整數(shù)為4294967271。

11111111 11111111 11111111 11100111 = 2^31 + 2^30 + ... + 2^5 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 2^5(1-2^27) / (1-2) + 7 = 4294967271

總結(jié)

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