求

$\sum\limits_{i=1}^n [k | i] \times C_n^i$

膜 $998244353$

$n \leq 10^{15},k \leq 2^{20}$

$k$ 是 $2$ 的正整數次方

?

sol：

“不看題解拿頭做” 系列

考慮構造一個序列 $a_i$ 滿足只有 $[k|i]$ 時是 $1$，其它時候是 $0$

之后就開始神仙了起來

?

構造 $k$ 次單位根 $\omega _k = g^{\frac{p-1}{k}}$，發現 $\frac{1}{k} \times \sum\limits_{j=0}^k \omega _k^{i \times j} = [k | i]$

代入原式得到 $\sum\limits_{i=1}^n?\frac{1}{k} \times \sum\limits_{j=0}^k \omega _k^{i \times j} \times C_n^i$

根據二項式定理 $\sum\limits_{i=1}^n C_n^i \times x^i = (x+1)^n$，可以化簡

$\frac{1}{k} \times \sum\limits_{j=0}^k (\omega_k ^j + 1)^n$

這就可以直接求了

#include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; #define rep(i, s, t) for (register int i = (s), i##end = (t); i <= i##end; ++i) #define dwn(i, s, t) for (register int i = (s), i##end = (t); i >= i##end; --i) inline LL read() {LL x = 0, f = 1; char ch = getchar();for (; !isdigit(ch); ch = getchar())if (ch == '-')f = -f;for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = 10 * x + ch - '0';return x * f; } const int mod = 998244353; inline int ksm(int x, int t) {int res = 1;for(; t; x = 1LL * x * x % mod, t = t >> 1) if(t & 1) res = 1LL * x * res % mod;return res; } int main() {LL n = read() % (mod-1), k = read();int ans = 0;int wn = ksm(3, (mod-1) / k), w = ksm(3, (mod-1) / k);rep(i, 0, k-1) {(ans += ksm(w + 1, n)) %= mod;w = 1LL * w * wn % mod;}ans = 1LL * ans * ksm(k, mod - 2) % mod;cout << ans << endl; } View Code

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總結

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