量子糾纏

• 1 量子純態糾纏熵
• • 1.1 施密特(Schmidt)分解
  • 1.2 香農熵(Shannon entropy)
  • 1.3 馮紐曼熵(von Neumann Entropy)
  • 1.4 糾纏熵示例
• 2 量子混合態糾纏判定
• 3 單配糾纏(Monogamy of Entanglement)

如何量化量子糾纏是本次的主題，我們主要看純態(pure state)和混合態(mixed state)兩種情況。

1 量子純態糾纏熵

假設張三李四的偶量子態(Bipartite Quantum State, BQS)如下所示：
$$|\psi ?=\sum _{ij}{\alpha }_{ij}|i{?}_A|j{?}_B$$其糾纏熵(Entanglement Entrophy)如下所示：
$$\begin{gathered} E(|\psi ?)=S({\rho }^A)=S({\rho }^B)= \\ H([[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}) \end{gathered}$$ 其中，$H()$是香農熵(Shannon entropy)；$[[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}$是其施密特(Schmidt)分解$A={\alpha }_{ij}$的概率分布；$S({\rho }^A)$是張三的約化密度矩陣的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)。約化密度矩陣見 量子計算 4 推送內容。

1.1 施密特(Schmidt)分解

對于$|\psi ?={\sum }_{ij}{\alpha }_{ij}|i{?}_A|j{?}_B$，系數$A={\alpha }_{ij}$可通過特征值分解為$U\Lambda V^{?}$，則$U^{?}AV=\Lambda$，說明張三李四可通過自己局部的酉變換進行基變換，最終將該量子態轉化成：
$$\sum _i{\lambda }_i|v_i?|w_i?$$ 其中$|v_i?$和$|w_i?$分別為正交基，但不一定互相正交。于是，在$\{|v_i?,|w_i?\}$基下測量時概率分布為$[[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}$。

1.2 香農熵(Shannon entropy)

對經典概率分布$P=[p_0,\dots ,p_{n?1}{]}^{?}$，其香農熵為：
$$H(P)=\sum _{i=0}^{n?1}{p}_i{\log }_2\frac{1}{p_i}$$ 其越大說明信息不確定性越強，當事件完全確定時為零，當$n=2$時，其香農熵最大為1。

1.3 馮紐曼熵(von Neumann Entropy)

于是將混合態或純態的密度矩陣$\rho$所對應的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)定義為：
$$S(\rho )=\sum _{i=0}^{n?1}{\gamma }_i{\log }_2\frac{1}{{\gamma }_i}$$ 其中${\gamma }_i$為$\rho$的密度矩陣。即將密度矩陣對角化，其對角線值表達的概率分布的香農熵記為馮紐曼熵(von Neumann Entropy)。

用不同的基進行測量，密度矩陣會給出不同的概率分布，馮紐曼熵(von Neumann Entropy)可以看成是這些概率分布里面最小的香農熵，即不確定性最小的基（最接近真實量子態的基），測量得到的結果：
$$S(\rho )=\underset{U}{\min }H(\text{diag}(U\rho U^{?}))$$ 比如對量子態$|+?$，如果在$\{|0?,|1?\}$下測量的化，結果是一半一半的概率，香農熵為1，如果在$\{|+?,|??\}$測量，結果就是確定的，香農熵為0，所以對于確定的$|+?$，其馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為0；
同樣的，對于maximally mixed state, 其密度矩陣為$\frac{I}{2}$，其馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為1。

1.4 糾纏熵示例

$$\begin{gathered} E(|\psi ?)=S({\rho }^A)=S({\rho }^B)= \\ H([[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}) \end{gathered}$$

• 對于量子態$|\psi ?$的糾纏熵，可以通過張三李四的約化密度矩陣，即其子系統來計算，即在張三自己測量了之后，李四的密度矩陣所表達的量子態的不確定性表達了張三李四的糾纏程度，如果李四的密度矩陣的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為0，即一個確定的量子純態，那說明倆人也沒啥糾纏了；也可以通過其BQS系數的施密特分解對應的概率來計算，如找到兩個測量基$\{v_i,w_i\}$分別對張三李四測量的概率都是1，那說明兩者都是一個確定的狀態，兩者沒有糾纏，熵也是0。這兩種情況的計算是相同的；
• 對于沒有糾纏的$|\psi {?}_1?|\psi {?}_2$其糾纏熵為零；對于Bell pair $\frac{|00?+|11?}{\sqrt{2}}$，其糾纏熵為1。因此對于糾纏熵的值，可以看成是我們需要多少個Bell pair來建立這個量子態，或者可以從中提取多少個量子態，這兩個值對于純態是相同的，但是對于后面的混合態則不一定。

2 量子混合態糾纏判定

量子混合態的糾纏判斷比較tricky：

• 對混合態(Mixed state)$\{p_i,|{\psi }_i?\}$，僅憑其密度矩陣${\sum }_i{p}_i|{\psi }_i??{\psi }_i|$其實無法判斷原始的量子態$|{\psi }_i?$是否糾纏;
• 創建一個混合偶態(bipartite mixed states)，$\rho$，需要的糾纏量子比特，即Entanglement of Formation$=E_F(\rho )$，要大于等于從該混合態中可以提取的糾纏量子比特Distillable Entanglement$=E_D(\rho )$，而且有可能$E_F(\rho )>>E_D(\rho )$，即糾纏的量子態，在混合之后，糾纏消失了！？
• 對于混合偶態(bipartite mixed states)，稱其為separable，如果滿足$\rho ={\sum }_i{p}_i|v_i??v_i|?|w_i??w_i|={\sum }_i{p}_i|v_i{w}_i??v_i{w}_i|$，但是其組成成分，可能是entangle的純態，和第二條對應，本來entangle的純態，混合之后，其密度矩陣變成了separable了，糾纏消失了。
• 不像純態一樣能通過糾纏熵很好的判斷，確定混合態$\rho$能否separable的分解是個NP hard的問題，而密度矩陣$\rho$又是我們能掌握的所有信息，于是又很多論文在嘗試對不同的糾纏分類識別。

3 單配糾纏(Monogamy of Entanglement)

有個很神奇的量子態叫做GHZ state，長得有點像Bell pair，如下所示：
$$\frac{|000?+|111?}{\sqrt{2}}$$ 對于這個三比特量子態，分別對應張三李四王五，有個神奇的現象，就是只有當張三李四王五在一起的時候這個糾纏才存在，如果王五不在，那他可能測量了自己的比特，而且根據No-communication定理，張三李四的密度矩陣不論是不是王五測量都不會變，那我們看看如果王五測量了示什么情況，那就和王五沒測量的情況是一樣的。

王五測量了之后，一半可能是$|0?$另一半可能是$|1?$，于是張三李四的密度矩陣其實就是$|00?$和$|11?$的混合，糾纏消失了，對于Bell pair，不同之處是其狀態是$|00?$和$|11?$的疊加。

因此張三李四的密度矩陣是：

而Bell pair的密度矩陣是：

所以，雖然GHZ state明顯是entangle的，但是少了誰都不entangle了，就像是博羅梅安環(Borromean rings)，少了誰環都是分開的。

這里其實反應了一個更廣泛的原則：

單配糾纏(Monogamy of Entanglement):
如果張三的Qubit和李四的Qubit是最大糾纏(Maximally entangled)，那張三的Qubit就不能和王五的Qubit最大糾纏(Maximally entangled)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的量子计算 8 量子纠缠的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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