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向量和向量空间

發布時間：2023/12/15 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了向量和向量空间小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

向量和向量空間

數域F中的n個數 $x1,?,xnx_1, \cdots, x_n$ 組成的有序數組 $[x1,?,xn][x_1, \cdots, x_n]$ ，在數學上稱為數域F上的n維（行）向量。

###向量的運算
設 $α=[a1,?,an]T\alpha = [a_1, \cdots, a_n]^T$ ， $β=[b1,?,bn]T\beta= [b_1, \cdots, b_n]^T$ 都是n維列向量。

加法??

α+β=[a1+b1,?,an+bn]T.\alpha+\beta = [a_1 + b_1, \cdots, a_n + b_n]^T.

數乘??設k為一數，則

\alpha = [ka_1, \cdots, ka_n]^T.

內積??也稱為點乘，若

α,β\alpha, \beta

都是實向量則

?α,β?=α?β=∑i=1naibi\langle \alpha, \beta \rangle = \alpha \cdot \beta = \sum_{i=1}^n a_ib_i

Cauchy-Schwarz不等式：

∣?α,β?∣≤∣α∣?∣β∣.\vert \langle \alpha, \beta \rangle \vert \le \vert \alpha \vert \cdot \vert \beta \vert .

即兩個向量內積的絕對值小于等于兩個向量的模相乘。等號在兩個向量方向相同或相反時成立。

外積??也稱為叉乘和向量積，兩個向量的外積依然是向量，方向與兩個向量組成的平面垂直遵守右手定則。大小?

∣α×β∣=∣α∣?∣β∣?sin?θ\vert \alpha \times \beta \vert = \vert \alpha \vert \cdot \vert \beta \vert \cdot \sin\theta

向量組的線性相關性和向量組的秩

給定向量組 $α1,α2,?,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，如果存在不全為零的數 $k1,?,ksk_1, \cdots, k_s$ 使得

$k1α1+?+ksαs=0,k_1 \alpha_1 + \cdots + k_s \alpha_s = 0,$

則稱向量組線性相關。否則，稱這個向量組線性無關。

對向量 $α\alpha$ 和向量組 $α1,α2,?,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ ，如果有一組數 $k1,k2,?,ksk_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使：

$α=k1α1+?+ksαs\alpha = k_1 \alpha_1 + \cdots + k_s \alpha_s$

則稱 $α\alpha$ 可用 $α1,α2,?,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 線性表出。

定理（線性相關和線性表出的關系）：向量組 $α1,α2,?,αs(s≥2)\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s (s \ge 2)$ 線性相關的充要條件是其中至少有一個向量能用其余向量線性表出。

下面討論向量組的關系；
設有兩個組：
$\quad \alpha_1, \cdots, \alpha_s;$
$\quad \beta_1, \cdots, \beta_r.$
如果向量組a與向量組b能相互線性表出，則稱這兩個向量組等價，記作 $\cong b$ 。

定理：如果兩個線性無關向量組 $α1,?,αs\alpha_1, \cdots, \alpha_s$ 和 $β1,?,βr\beta_1, \cdots, \beta_r$ 等價，則 $r = s$ 。

設S是一個向量組， $α1,α2,?,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是它的一個子組，如果 $α1,α2,?,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 線性無關，且S中任一向量都可用這個子組線性表出，則稱 $α1,α2,?,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是向量組S的一個極大線性無關組。一般來說向量組的極大線性無關組不是唯一的，但它們之間必定是等價的，極大線性無關組所含向量的個數r是由原向量組唯一確定的，我們稱這個數為該向量組的秩。

向量空間

向量空間定義：設V是數域F上的 $n$ 維向量組成的非空集合，如果集合V對于加法及數乘兩種運算封閉，則稱V為F上的向量空間。

子空間定義：設 $V_1$ 和 $V_2$ 都是同一數域F上的向量空間，若 $V1?V2V_1 \subseteq V_2$ ，則稱 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空間。

基和維數定義：設V是向量空間，如果 $α1,α2,?,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是V中給定順序的一個極大線性無關組，則稱它是V的一個基，即為 $B={α1,α2,?,αr}\mathscr{B} = \{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \}$ ，其向量個數r稱為V的維數。記作 $dim?V=r\dim V = r$

正交基和標準正交基的定義：設 ${α1,α2,?,αr}\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \}$ 是n維向量空間V的一個基，若它們兩兩正交，則稱該基為V的一個正交基。若每個向量 $αi\alpha_i$ 還都是單位向量，則稱它為V的一個標準正交基。

Schmidt正交化方法：
設 ${α1,α2,?,αr}\{ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r \}$ 是向量空間V的一個基，用如下做法得出一個標準正交基：

${β1=α1,?1=β1∣β1∣,β2=α2??α2,?1??1,?2=β2∣β2∣,?βn=αn??αn,?1??1????αn,?n?1??n?1,?n=βn∣βn∣,\begin{cases} \beta_1 = \alpha_1, \quad \epsilon_1 = \frac{\beta_1}{\vert \beta_1 \vert}, \\ \beta_2 = \alpha_2 - \langle \alpha_2, \epsilon_1 \rangle \epsilon_1, \quad \epsilon_2 = \frac{\beta_2}{\vert \beta_2 \vert}, \\ \vdots \\ \beta_n = \alpha_n - \langle \alpha_n, \epsilon_1 \rangle \epsilon_1 - \cdots - \langle \alpha_n, \epsilon_{n-1} \rangle \epsilon_{n-1}, \quad \epsilon_n = \frac{\beta_n}{\vert \beta_n \vert}, \\ \end{cases}$

例題已知 ${α1=[1,1,0]T,α2=[2,0,1]T,α3=[2,2,1]T}\{ \alpha_1 = [1, 1, 0]^T, \alpha_2 = [2, 0, 1]^T, \alpha_3 = [2, 2, 1]^T \}$ 是三維歐氏空間 $R3\mathbf{R}^3$ 的一個基，用這個基求 $R3\mathbf{R}^3$ 得一個標準正交基。
解 ?取 $β1=α1=[1,1,0]T\beta_1 = \alpha_1 = [1, 1, 0]^T$ ，單位化后得
$?1=β1∣β1∣=12[1,1,0]T\epsilon_1 = \frac{\beta_1}{\vert \beta_1 \vert} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 1, 0]^T$
由于 $?α2,?1?=2\langle \alpha_2, \epsilon_1 \rangle = \sqrt{2}$ ，所以
$β2=α2??α2,?1??1=[2,0,1]T?[1,1,0]T=[1,?1,1]T\beta_2= \alpha_2 - \langle \alpha_2, \epsilon_1 \rangle \epsilon_1 = [2, 0, 1]^T - [1, 1, 0]^T = [1, -1, 1]^T$
單位化得 ? $?2=β2∣β2∣=13[1,?1,1]T.\epsilon_2 = \frac{\beta_2}{\vert \beta_2 \vert} = \frac{1}{\sqrt{3}} [1, -1, 1]^T.$
$β3=α3??α3,?1??1??α3,?2??2=[2,2,1]T?[2,2,0]T?13[1,?1,1]T=13[?1,1,2]\beta_3= \alpha_3 - \langle \alpha_3, \epsilon_1 \rangle \epsilon_1 - \langle \alpha_3, \epsilon_2 \rangle \epsilon_2 = [2, 2, 1]^T - [2, 2, 0]^T - \frac{1}{3}[1, -1, 1]^T = \frac{1}{3}[-1, 1, 2]$
單位化后得： $?3=16[?1,1,2]T\epsilon_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}[-1, 1, 2]^T$

關于Schmidt正交化方法的python實現代碼：

import numpy as npdef schmidt_norm_orth(array):col = array.shape[0]for i in range(col):j = icol_now = array[i]beta_now = col_nowwhile j > 0:j -= 1beta_now -= np.dot(col_now, array[j]) * array[j]epsilon_now = beta_now / np.linalg.norm(beta_now)array[i] = epsilon_nowreturn array

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量和向量空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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