一、平面極坐標(biāo)系定義

1. 定義

在參考系上取一點(diǎn) $O$ 稱為極點(diǎn)，由 $O$ 點(diǎn)引一有刻度的射線，稱之為極軸，即構(gòu)成極坐標(biāo)系。

2. 極坐標(biāo)系

質(zhì)點(diǎn)的位置 $P$ 由極徑 $\rho$ 和幅角 $\theta$ 給出。如下圖所示。

$\rho$ ：極徑，極點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的距離
$\theta$：幅角或極角，極徑與極軸的夾角，規(guī)定角度取逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

3. 正交單位矢量

• 徑向單位矢量 $\mathbf{i}$ ：方向從極點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)。則矢徑 $\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$。
• 橫向單位矢量 $\mathbf{j}$ ：方向與徑向單位矢量垂直，且指向 $\theta$ 增加的方向。

4. 正交單位矢量對(duì)時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

設(shè)初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置為$P_1$，經(jīng)過(guò)時(shí)間$dt$，質(zhì)點(diǎn)位置為$P_2$，幅角變化量為$d\theta$。如下圖所示。

4.1 徑向單位矢量$\mathbf{i}$

經(jīng)過(guò)時(shí)間$dt$，徑向單位矢量由${\mathbf{i}}_1$變化到${\mathbf{i}}_2$，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為$d\theta$。
$$d\mathbf{i}={\mathbf{i}}_2?{\mathbf{i}}_1$$

由于$\mathbf{i}$為單位矢量，且$dt$為趨于$0$的微元。所以$d\mathbf{i}$的大小即為以$|\mathbf{i}|$為半徑，角度為$d\theta$所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)（單位矢量$\mathbf{i}$從${\mathbf{i}}_1$旋轉(zhuǎn)到${\mathbf{i}}_2$時(shí)，箭頭末端所經(jīng)過(guò)的路程），其大小為：
$$|d\mathbf{i}|=|\mathbf{i}|?d\theta =d\theta$$

$d\mathbf{i}$的方向?yàn)閺?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">${\mathbf{i}}_1$的末端指向${\mathbf{i}}_2$的末端，當(dāng)$dt$趨于$0$時(shí)，$d\mathbf{i}$的方向垂直于$\mathbf{i}$并且指向$\theta$的增加方向，所以$d\mathbf{i}$與$\mathbf{j}$同向。即：
$$d\mathbf{i}=\mathbf{j}d\theta$$

對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

4.2 橫向單位矢量$\mathbf{j}$

同理，經(jīng)過(guò)時(shí)間$dt$，橫向單位矢量由${\mathbf{j}}_1$變化到${\mathbf{j}}_2$，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為$d\theta$。
$$d\mathbf{j}={\mathbf{j}}_2?{\mathbf{j}}_1$$

其大小為
$$|d\mathbf{j}|=|\mathbf{j}|?d\theta =d\theta$$

其方向與徑向單位矢量$\mathbf{i}$反向，所以橫向單位矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{d\mathbf{j}}{dt}=?\mathbf{i}\frac{d\theta }{dt}$$

二、極坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)方程

• 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：$r=r(t)$,\hspace{0.3cm} $\theta =\theta (t)$
• 質(zhì)點(diǎn)位置矢量：$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$
• 質(zhì)點(diǎn)軌跡方程：$r=r(\theta )$

三、極坐標(biāo)系中的速度

在極坐標(biāo)系中
$$\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$$

速度
$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(\rho \mathbf{i})}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\mathbf{i}}{dt}$$

又
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

所以
$$\mathbf{v}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}=v_r\mathbf{i}+v_{\theta }\mathbf{j}$$

• 徑向速度$v_r=\frac{d\rho }{dt}$，由位矢的量值變化所引起的；
• 橫向速度$v_{\theta }=\rho \frac{d\theta }{dt}$，由位矢方向的變化所引起的，其中$\omega =\frac{d\theta }{dt}$為角速度。

總的速度大小
$$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_r^2+v_{\theta }^2}=\sqrt{(\frac{d\rho }{dt}{)}^2+(\rho \frac{d\theta }{dt}{)}^2}$$

四、極坐標(biāo)系中的加速度

由加速度定義
$$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})$$

其中
$$\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i})=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}$$

$$\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}+\rho \frac{d\theta }{dt}\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}?\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2\mathbf{i}$$

由此可得
$$\mathbf{a}=[\frac{d^2\rho }{d{t}^2}?\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2]\mathbf{i}+[\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}]\mathbf{j}=a_r\mathbf{i}+a_{\theta }\mathbf{j}$$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平面极坐标系下质点的运动方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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