高翔博士在他的《視覺SLAM十四講》中把SLAM問題的數學描述抽象成了兩個數學方程，以下對此做個總結，并且對此做一些通俗易懂的解釋：

一、方程的總體形式

作為理性層次的描述，我們引入數學方程來描述SLAM過程，其中第一個方程叫做運動方程、第二個方程叫做觀測方程，想象一下我們在研究SLAM的時候肯定需要觀測機器人（無人汽車、無人機等都可以統稱為機器人）的運動（畫面感很強哈哈），這樣很容易理解并且記憶這兩個方程的名稱和意義：

二、變量的含義

我們看到，這兩個方程中有大量的英文字母作為變量存在其中，下面介紹一下各個變量的含義：

• $\text{x}$：加粗的$\text{x}$表示一個向量，這個向量表示這機器人的位置坐標，在三維坐標系中可以使用$[x_1,x_2,x_3{]}^T$來表示。
• ${\text{y}}_j$：加粗的$\text{y}$也表示一個向量，表示某一個路標點的位置，注意到$\text{y}$通常帶有下標$j$，這個$j$表示路標的編號，我們假設一共有$N$個路標，則用${\text{y}}_1,{\text{y}}_2...{\text{y}}_j...{\text{y}}_N,$分別表示它們。

有趣的是，我們研究SLAM，無非是研究定位（Localization）問題和建圖（Mapping）問題，而對 $\text{x}$的估計就對應著定位問題（L），對$\text{y}$的估計對應著建圖問題（M）。

• $\text{u}$：加粗的$\text{u}$表示運動量，即機器人內部運動傳感器讀數，比如IMU+GPS等的讀數（嚴格來說，這是一種觀測量，但是我們把它和攝像頭的觀測量區分開來）。比如我們可以使用位移傳感器和IMU測得$[\Delta x_1,\Delta x_2,\Delta \theta {]}^T$，作為某個時刻的運動量$\text{u}$
• $\text{z}$：加粗的$\text{z}$表示另外一種傳感器讀數——觀測量，通常這個量有雙目攝像頭、激光雷達等獲得，因為這是對觀測路標的測量，而路標即$y$有N個，因此我們需要使用腳標${\text{z}}_j$來表示對第$j$個路標的觀測量。

我們可以認為$\text{u}$是對自身（內部）的測量， $\text{z}$是對環境（外部）的測量，這樣由內而外的測量可以我們區分這兩種傳感器的類別和意義。

• $\text{w}$、$\text{v}$：不可避免的，我們的傳感器是存在誤差的，我們用 $\text{w}$、$\text{v}$這兩個看起來同根同源的字母來分別表示$\text{u}$和$\text{z}$的測量誤差。
• $k$：小寫的表示時間序列編號，我們在工程中都是使用離散時間序列的，這樣產生了$t=1,2,3,...,K$個時間點，注意大小寫的意義是不一樣的，大寫的$K$表示一共有多少個時間點。我們可以對上邊的所有字母都加上下角標$k$看來表示這是k時刻的物理量。

三、具體化運動方程和觀測方程

開篇的公式過于抽象，下面將函數具體化，簡單起見，我們在這里使用二維情況下的位姿表示（兩個位置坐標$x_1$和$x_2$和一個姿態坐標$\theta$），這樣理解起來比較容易。假設在$k?1$時刻，機器人的位置坐標為 ${\text{x}}_{k?1}$，而在$k$時刻，內部運動傳感器測得運動位移量$[\Delta x_1,\Delta x_2{]}_k^T$，那么我們可以通過他們計算$k$時刻的位置${\text{x}}_k$，這個就是運動方程，我們可以寫成以下表達式：

對于觀測方程，我們假設使用激光傳感器測量到了機器人和某個路標$y_j$之間的距離$r$和夾角$?$，那么觀測量${\text{z}}_{k,j}=[r_{k,j},{?}_{k,j}{]}^T$可以表示成一下形式：

四、狀態估計問題

我們在上文提到了，SLAM的最終問題是解決定位問題（Localization）和建圖問題（Mapping），從我們的模型來看，就是對$\text{x}$和$\text{y}$的估計問題，我們把這類的問題稱為狀態估計問題。也就是通過觀測量（包括內部傳感器的讀數$\text{u}$，和外部傳感器的讀數$\text{z}$），來計算出最優的$\text{x}$和$\text{y}$。

用下圖可以直觀的把以上公式模塊化：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的通俗易通解释SLAM问题的数学描述：运动方程和观测方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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